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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{septembre 1973}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon septembre 1973~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$, le système d'équations
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1) &2x + 3y + 6&=&0,\\
(2) &4x - 2y- 20 &=& 0
\end{array}\right.\]

\item Représenter dans un repère orthonormé d'origine I, les droites d'équations (1) et (2).

Soit $\left(D_1\right)$, la droite d'équation $2x + 3y + 6 = 0$ et soit $\left(D_2\right)$, la droite d'équation 

$4x - 2y - 20 = 0$.

Retrouver sur le graphique la solution du système d' équations.
\item La droite $\left(D_1\right)$, coupe l'axe des abscisses en H, l'axe des ordonnées en C.

La droite $\left(D_2\right)$, coupe l'axe des abscisses en E, l'axe des ordonnées en K.

Calculer $d$(I, E), $d$(J, K), $d$(I, B) et $d$(I, C),

En déduire $d$(B, C), $d$(E, K), $d$(B, E) et $d$(B, K).

Les distances seront exprimées à l'aide de l'unité ayant servi à la graduation des axes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit quatre points non alignés A, B, C et D situés dans un plan.

Les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des bipoints (A, B), (B, C), (C, D) et (D, A).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadruplet (I, J, K, L) est un parallélogramme.
\item Les points A, B, C et D ont respectivement dans le repère \Oij{}
 les coordonnées suivantes :
\begin{center}A$(- 4~;~3)$, \quad  B(5~;~2), \quad C$(3~;~- 2)$\quad  et \quad D$(- 5~;~- 5)$.\end{center}

Calculer les coordonnées des points I, J, K et L dans le repère choisi.

En déduire les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{IL}}$ et $\vect{\text{IK}}$.
\item Soit P le point d'intersection des diagonales du parallélogramme (I, J, K, L).

Montrer que $\vect{\text{PI}} + \vect{\text{PJ}} + \vect{\text{PK}} + \vect{\text{PL}} = \vect{0}$.

S étant un point quelconque du plan, en déduire que
\[\vect{\text{SI}} + \vect{\text{SJ}} + \vect{\text{SK}} + \vect{\text{SL}} = 4 \vect{\text{SP}}.\]
\end{enumerate}
\end{document}