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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small septembre 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On considère les applications $g$ et $h$ , de $\R$ dans $\R$ définies par 
\[\begin{array}{l c l}
g(x) &=&(3x - 5)(5x + 2) + (5 - 3x) (1 + 3x)\\
h(x) &=&(3x + 2)^2 (x + 1)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer $g(x)$ et $h(x)$ et les présenter sous forme de polynômes réduits et ordonnés.
\item Factoriser $g(x)$ et $h(x)$.
\item Calculer $g( 5) ;\: g\left(\dfrac23\right) ;\: h\left(\sqrt 3 - 1\right)$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations: $h(x) = 0$ et $g(x) =h(x)$.
\item Soit la fonction rationnelle $p(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}$.

Préciser son ensemble de définition $\mathcal{D}_p$. 

Dans $\mathcal{D}_p$, simplifier $p(x)$. 

$p'(x)$ est le résultat obtenu. Résoudre l'équation $p'(x) = - 2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans un plan $P$ muni d'un repère orthonormé \Oij, où le centimètre est pris comme unité, on considère les points 
\begin{center}A(4~;~2)\qquad B$(- 1~;~- 3)$\qquad  D(3~;~9).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de I, milieu de (B, D) et les coordonnées de C symétrique de A par rapport à I.

Placer A, B, C, D, I sur la figure (papier millimétré).
\item Montrer que le quadruplet (A, B, C, D) est un losange.
\item Calculer $d$(D,I), $d$(D, A) puis le cosinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{IDA}}$.
\item Montrer que les points O, D, B sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}