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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small septembre 1979}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

Soit les deux fonctions $A$ et $B$ définies sur $\R$ par
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&9(2x- 1)^2 - (2x + 4)^2,\\
B(x)&=& 16x^2 - 49 + (4x - 7)(x - 2) + (7 - 4x)(2x - 1).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $A(x)$ et $B(x)$.
\item Démontrer que $A(x)$ et $B(x)$ peuvent s'écrire 
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(8x + 1)(4x -7),\\
B(x)&=&(4x -7)(3x +6).
\end{array}\]
\item Soit $h$ la fonction rationnelle, de $\R$ vers $\R$, définie par
\[h(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}.\]

Trouver le domaine de définition de $h$ et simplifier $h(x)$.
\item Résoudre, dans $\R$, les équations suivantes: 
\begin{center}$h(x) = 0$\qquad ;\qquad  $h(x) = -1$.\end{center}
\item Construire dans un repère orthonormé les droites représentant les fonctions
\begin{center}$f : x \longmapsto  8x + 1$\quad;\quad $g : x \longmapsto 3x + 6.$\end{center}
\item Calculer les coordonnées du point commun de ces deux droites.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit (A, B, C, D) un parallélogramme propre tel que AB = BC.

Soit E un point de la droite (AB) tel que $\vect{\text{AE}} = \dfrac13\vect{\text{AB}}$. 

Soit F un point de la droite (DC) tel que $\vect{\text{DF}} = \dfrac23\vect{\text{DC}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (A, E, C, F) est un parallélogramme propre.
\item Démontrer que les trois segments [AC], [BD] et [EF] ont même milieu.
\item On donne AC $= 8$ cm, AB $= 6$ cm. Calculer la longueur de [BD].
\item Calculer le rapport de projection orthogonale de l'axe $\vect{\text{AB}}$ sur l'axe $\vect{\text{AC}}$.
\end{enumerate}
\end{document}