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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small septembre 1987}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les nombres suivants (on donnera les valeurs exactes les plus simples possibles).

\[a =\dfrac72 + \dfrac35 \qquad b = \dfrac35+ \dfrac23 \times \dfrac54 \qquad  c= \dfrac{2 + \dfrac13}{2 - \dfrac13}\]

\[d = \dfrac{1}{2 - \sqrt 3} + \dfrac{1}{2 + \sqrt 3}\qquad e = 2\sqrt{28} - 5\sqrt{63} + \sqrt{700}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $9x^2 - 6x + 1$.
\item Développer $(3x - 1)^2 - (3x - 1)(2x + 4)$.
\item Factoriser $(3x - 1)^2 - (3x - 1)(2x + 4)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

\[\dfrac23 x - 5 = 0 \:; \qquad 5x\left(16x^2 - 25\right) = 0.\]

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

ABCD est un parallélogramme tel que : AB $= 6$~cm et BC $= 5$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points E et F tels que :

\[\vect{\text{AE}} = \dfrac14 \vect{\text{AB}}\qquad \text{et}\qquad \vect{\text{CF}} = \dfrac14\vect{\text{CD}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points E et F.
		\item Montrer que $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{FC}}$.
	\end{enumerate}
\item On appelle O le centre du parallélogramme ABCD.

Montrer que O est le milieu du segment [EF].
\item La parallèle à la droite (AC) passant par E coupe la droite (BC) en M.

Calculer BM.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij{} :
(unité: 2 cm). On donne les points :

\[\text{A}(2~;~-1), \qquad  \text{B}(4,5~;~1,5), \qquad  \text{C}(2~;~4).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure et la compléter au fur et à mesure.

Écrire les vecteurs $\vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OC}}$  en fonction des vecteurs $\vect{\imath}$  et $\vect{\jmath}$.

Quelle est la nature du triangle OAC ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{OC}}$.
		\item Calculer les distances AB et BC.
		\item Que peut-on en déduire pour le triangle ABC ?
		
Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

Préciser la nature de ABCD. Justifier la réponse.
\item Montrer que les cinq points A, B, C, D, O sont sur un même cercle.

Indiquer son centre K et calculer son rayon.
\end{enumerate}
\end{document}