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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 1995}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small septembre 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon septembre 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $y =(2x - 3)(2x + 3)- (2x + 3)(4x - 3)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $y$ pour $x = \dfrac32$,puis pour $x = -2$.
\item Développer et réduire $y$.

Calculer $y$ pour $x = 10^{-5}$. (On donnera le résultat sous forme scientifique.)
\item Factoriser $y$.

Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $y =0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soient $A = \left(2\sqrt 3 - 5\right)^2,\quad  B =\sqrt{80} - \sqrt{81} + 7\sqrt{20}$.

Écrire $A$ et $B$ sous la forme $a\sqrt b + c$ ,\,  $a, b$ et $c$ étant des entiers relatifs, $b$ le plus petit possible.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un lot de 18 bouteilles coûte $282$ F. Certaines coûtent $18$ F et les
autres $12$~F.

Calculer le nombre de bouteilles de chaque sorte.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans un lycée, $\dfrac34$ des élèves étudient l'anglais en première langue et
les $\dfrac35$ de ces élèves (étudiant l'anglais en LV1) étudient l'allemand en LV2.
.
Quel pourcentage d'élèves du lycée étudie à la fois l'anglais en LV1 et l'allemand en LV2 ?

\bigskip

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le but de l'exercice est de déterminer la largeur AC d'un fleuve. 

Les rives (AB) et (CD) sont parallèles.

Un géomètre a effectué les mesures indiquées en mètres sur la figure ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5.2)
\pspolygon(0.3,5)(6.7,5)(0.3,0.3)%AOB
\psline(4.1,5)(4.1,3.1)%CD
\uput[l](0.3,2.65){60}\uput[l](4.1,4.05){24}\uput[u](5.4,5){32}\uput[dr](5.4,4.05){40}
\uput[ul](0.3,5){A} \uput[dl](0.3,0.3){B} \uput[u](4.1,5){C} \uput[dr](4.1,3.1){D} \uput[ur](6.7,5){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle OCD ?
\item Calculer AO.
\item En déduire la largeur AC du fleuve.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère ci-après la figure $\mathcal{F}$ telle que :
AB = BC $= 4,5$ cm,  AC $= 6$~cm,  AD = CD $ = 7,5$~cm

\textbf{Cette figure sera complétée au fur et à mesure.}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite (BD) est médiatrice du segment [AC].
		\item Placer H, milieu de [AC]. Calculer $\widehat{\text{ABH}}$, arrondi à 1 degré près.
		\item En déduire $\widehat{\text{ABC}}$, arrondi à 1 degré près.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Compléter la figure en construisant $\mathcal{F}_1$ image de $\mathcal{F}$ par la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$.
		
On notera M le translaté de B, P le translaté de C et Q le translaté de
D.
		\item Construire de même $\mathcal{F}_2$ image de $\mathcal{F}$ par la symétrie de centre C.
		
On notera R le symétrique de B.
		\item Démontrer que P est le symétrique de A par rapport à C.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.7,5.5)
\pspolygon(0.4,3.7)(3,2.4)(4.1,5.2)(3.8,0.4)%ABCD
\rput(5,2.6){figure $\mathcal{F}$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{\textsc PREMIÈRE PARTIE}

\medskip

Trois commerces concurrents X, Y et Z de location de cassettes vidéo proposent les formules suivantes à leurs clients :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Commerce X : Chacun des 10 premiers films est loué 20 F ; après 10 locations le client bénéficie de 6 films gratuits. Les 10 films suivants sont de nouveau payables 20 F pièce, les 6 suivants gratuits et ainsi de suite.

À combien revient la location de 6 films ? 12 films ? 16 films ?

\item Commerce Y : Il faut payer un droit d'adhésion de $70$~F, puis chaque cassette est louée 10~F.
	\begin{enumerate}
		\item A combien revient la location de 6 films? de 20 films?
		\item Exprimer le prix total $y$ payé en fonction du nombre x de cas- settes louées.
	\end{enumerate}
\item Commerce Z : Chaque cassette est louée 15 F.

Exprimer le prix payé $z$ en fonction du nombre $x$ de cassettes louées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc DEUXIÈME PARTIE}

\medskip

Il s'agit de représenter dans le même repère le prix total payé chez chacun des trois commerçants en fonction du nombre de cassettes louées.

On commencera par tracer sur la feuille de papier millimétré deux axes [O$x$) et [O$y$) perpendiculaires en prévoyant au moins 18 cm sur l'axe des abscisses [O$x$) et 25 cm sur l'axe des ordonnées [O$y$).

On choisira sur l'axe des abscisses $1$ cm pour $2$ cassettes louées. On choisira sur l'axe des ordonnées $1$ cm pour $20$ F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points de coordonnées A(10~;~200), B( 16~;~200), C(26~;~400), D(32~;~400) puis tracer les segments [OA], [AB], [BC] et [CD] et continuer à représenter le prix payé au-delà de 32 cassettes chez le commerçant X.

Déterminer une équation de la droite (AB) et une équation de la droite (BC).
\item Tracer dans ce repère la demi-droite d'équation $y = 10x + 70$.
\item Tracer dans ce repère la demi-droite d'équation $y =15x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc TROISIÈME PARTIE}

\medskip

À l'aide de ce graphique, déterminer la formule la plus avantageuse selon le nombre de cassettes louées.

\bigskip

\textbf{\textsc QUATRIÈME PARTIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les entiers naturels solutions de l'inéquation $15x < 200$. 
\item Résoudre l'équation $15x = 10x + 70$.
\item Résoudre l'inéquation $10x + 70 \leqslant 20x - 120$
\item Que permettent de vérifier les résolutions des questions 1, 2 et 3 ?
\end{enumerate}
\end{document}