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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit OAB un triangle rectangle en O.

OA $= 12$ cm,  OB $= 5$ cm.

Un point M situé sur le segment [OA] est défini par AM $= x$.

On appelle [MN] le segment parallèle à (OB), N étant sur (AB), et (NP) la parallèle à OA, P étant sur [OB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer, en fonction de $x$, MN, NP puis le demi-périmètre $y =$ MN + NP du rectangle OMNP.
\item Représenter graphiquement la variation de $y$ en fonction de $x$, lorsque M décrit le segment [OA].

Quelles sont les limites de $y$ ?
\item Trouver, graphiquement et par le calcul, la valeur de $x$ lorsque $y = \dfrac{27}{4}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient ABC un triangle équilatéral de côté $6$~cm et ($\mathcal{C}$) son cercle circonscrit, de centre O, dont on calculera le rayon $R$.
\item Soit M un point de l'arc $\widearc{\text{AB}}$ du cercle ($\mathcal{C}$).

Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{BMC}}$ ?

Montrer que la bissectrice intérieure de $\widehat{\text{BMC}}$ passe, quel que soit le point M, par un point fixe et qu'il en est de même pour sa bissectrice extérieure.
\item Soient H l'orthocentre du triangle BMC (point d'intersection des hauteurs) et K le point où se coupent les perpendiculaires (BK) à (BM) et (CK) à (CM).

Quelle est la nature du quadrilatère BHCK ?

Montrer que K est sur le cercle ($\mathcal{C}$) et indiquer la position relative des points 

M, O,~K.
\item Lorsque M décrit l'arc $\widearc{\text{AB}}$, quel est le lieu géométrique du point K ?

Montrer que le milieu du segment [HK] est un point fixe.

Déduire le lieu géométrique du point H, du lieu de K.
\end{enumerate}
\end{document}