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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I.}

Soit $f$ et $g$ deux applications numériques définies sur $\R$ par 

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&-2x^2  + 2x+ \left[\left(2x -  \dfrac{3}{2}\right)^2  -\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2\right]\\
g(x) &=& \left(x^2 - 2x + 1\right) + (x - 1) (x - 2)
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ dans $\R$.
\item Soit la fonction rationnelle $h$ définie par

\[h(x) = \dfrac{g(x)}{(x - 1)(x - 2)}.\]

Préciser son domaine de définition et simplifier l'expression de $h(x)$ sur cet  ensemble.
\item Sachant que $1,414 < \sqrt{2}< 1,415$, déterminer un encadrement décimal de $h\left(\sqrt{2}\right)$ à $10^{-3}$ près.
\item Définir la fonction rationnelle $k = \dfrac{1}{f}$, indiquer son domaine de définition.
\item Calculer $k\left(\sqrt{3}\right)$. 

Vous donnerez le résultat sous forme d'un quotient ayant un dénominateur entier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II.}

Dans un plan affine euclidien (P) muni d'un repère orthonormé \Oij, 
on considère les points suivants :

\[\text{A}(5~;~4)\quad \text{B} (2~;~1)\quad \text{C}(1~;~-3) \quad \text{I}(2~;~4).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point D défini par : $\vect{\text{AB}} = \vect{\text{DC}}$.

\item Montrer que (A, B, C, D) est un parallélogramme.
 
Calculer $d$(A, B); $d$(I, A) ; $d$(I, B). 

Quelle est la nature du triangle (I, A, B) ?
\item Soit J le point symétrique de I par rapport à O.

Calculer les coordonnées de J.

Le triangle (D, C, J) est-il un triangle rectangle ?
\item Dans le triangle (I, A, B), calculer le sinus et la tangente de l'angle $\widehat{\text{IAB}}$.

Donner une valeur approchée à un millième près.
\end{enumerate}
\end{document}