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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small juin 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Considérons les deux applications $f$, $g$ , de $\R$ dans $\R$ telles que: 
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &= &9x^2 - 30x + 25 - (8 - 3x)(6x - 10)\\
g(x) &=&9x^2 - 25. 
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$.
\item Calculer $g\left(\sqrt 5 - 3\right) ;\:g\left(\dfrac53\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels, s'ils existent, qui ont comme image $0$ par l'application $g$.
		\item Déterminer les réels, s'ils existent, qui ont comme image 11 par l'application $g$.
		\item L'application $g$ est-elle une bijection ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie II}

\medskip

Soit $A$ la fonction qui au réel $x$ associe:
\[A(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de $A$ puis simplifier $A(x)$.
\item Calculer $A\left(\sqrt 3\right)$ et sachant que $1,732 < \sqrt 3< 1,733$, donne un encadrement de $A\left(\sqrt 3\right)$ à $10^{-1}$ près.
\item Résoudre dans $\R$, le système:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
9x - 21 &<& 0 \\
3x+5 &>&0
\end{array}\right.\]

et en déduire le signe de $A(x)$ si $- \dfrac53 < x < \dfrac73$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B, C tels que:
\[\vect{\text{OA}} = 3\vect{\imath} - \vect{\jmath} ; \qquad \vect{\text{OB}} = -\vect{\imath} + 7\vect{\jmath} ; \qquad \vect{\text{OC}} = 5\vect{\imath} - 5\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ et en déduire que les points A, B, C sont alignés.
\item Soit D le point du plan défini par : 
\[\vect{\text{OD}} = \vect{\text{OA}} + \vect{\text{OB}}.\]

Calculer les coordonnées de D et la norme du vecteur $\vect{\text{AD}}$.
\item Calculer la distance de O à A, la distance de O à D et déterminer la nature du triangle (A, O, D).
\item Calculer les coordonnées de E, centre du cercle circonscrit au triangle
(A, O, D).
\item Construire le point F du plan tel que (A, D, O, F) soit un parallélogramme et montrer que B, O, F sont trois points alignés.
\item G est le point d'intersection des droites (AB) et (OD), montrer que les droites (EG) et (BD) sont parallèles.
\end{enumerate}
\end{document}