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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small juin 1996}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon\footnote{Metz--Nancy--Reims--Strasbourg} juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que $A = 2\sqrt 5 + 4$ et $B = 2\sqrt 5 - 4$, calculer la valeur exacte de $A + B$ et de $A \times B$.
\item On donne: $C = \sqrt{147} - 2 \sqrt{75} + \sqrt{12}$.

Ecrire $C$ sous la forme $a \sqrt b$, où $a$ est un entier relatif et où $b$ est un entier naturel le plus petit possible.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne $E = (2x + 3)^2 - x(2x + 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer $E$ pour $x = - \dfrac23$.

On donnera le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible.
\item Résoudre l'équation suivante : $(2x + 3)(x + 3) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Madame Schmitt vend son appartement \np{420000} francs. Elle utilise cette somme de la façon suivante :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]elle donne les $\dfrac27$ de cette somme à sa fille ;
\item[$\bullet~~$]elle s’achète une voiture ;
\item[$\bullet~~$]elle place le reste à 4,5\,\% d'intérêt par an.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Au bout d'un an, elle perçoit \np{9900} francs d'intérêts.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien d'argent a-t-elle donné à sa fille ?
\item Quelle somme a-t-elle placée ?
\item Quel était le prix de la voiture ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On veut mesurer la hauteur d'une cathédrale. Grâce à un instrument de mesure placé en O, à 1,5 m du sol et à $85$ m de la cathédrale, on mesure l'angle $\widehat{\text{COB}}$ et on trouve $59\degres$.

AB $= 1,5$ m

%fig cathédrale
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(10.8,5.4)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray!75](0.7,1)(0.7,2)(1.4,5)(2.1,2.3)(3.2,2.3)(3.2,1)
\psframe[fillstyle=vlines](0,0.4)(10.4,1)
\pspolygon(9.3,1.7)(1.4,1.7)(1.4,5)%OBC
\uput[ur](9.3,1.7){O} \uput[l](1.4,1.7){B} \uput[u](1.4,5){C}
\psline[linewidth=0.4pt](1.4,1.6)(1.4,0.2)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.4,0.2)(9.3,0.2)\uput[d](5.35,0.2){85 m}
\psline[linewidth=0.4pt](9.3,0.2)(9.3,1)
\rput(5.35,0.7){SOL}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(9.3,1)(9.3,1.7)\uput[r](9.3,1.35){1,5 m}
\psarc(9.3,1.7){0.6}{162}{180}\rput(8.3,1.85){\small $59\degres$}
\uput[dl](1.4,1){A}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la longueur CB au dixième de mètre le plus proche.
\item En déduire la hauteur de la cathédrale que l'on arrondira au mètre le plus proche.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCD est un rectangle tel que AD = 7 cm et AB = 5 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure.
\item Calculer la valeur exacte de la longueur AC.
\item Sur le segment [AB], on place le point I tel que AI = 3 cm. Sur le segment [AC], on place le point J tel que AJ = 5,1 cm.

Les droites (IJ) et (BC) sont-elles parallèles ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On a représenté sur un quadrillage cinq triangles rectangle de mêmes dimensions.

%fig

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(-10,-7)(11,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=15,Dy=15]{->}(0,0)(-10,-7)(11,6)
\pspolygon[linewidth=1.5pt](-1,0)(-9,4)(-5,4)(-5,0)%EABDE
\pspolygon[linewidth=1.5pt](1,0)(5,2)(7,-2)(1,-2)(5,0)
\psline[linewidth=1.5pt](5,-2)(5,2)
\uput[l](-9,4){A} \uput[r](-5,4){B} \uput[dl](-5,2){C}
\uput[dl](-5,0){D} \uput[d](-1,0){E} \uput[d](1,0){F}
\uput[ur](5,0){G} \uput[u](5,2){H} \uput[d](5,-2){K}
\uput[dl](1,-2){L} \uput[dr](7,-2){M}\uput[r](0,5.5){$d_1$}
\end{pspicture}
\end{center}

Sans justification, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image du triangle FGH par la symétrie d'axe $d_1$ ?
\item Quelle est l'image du triangle GKL par la rotation de centre K, d'angle $90\degres$ dans le sens des aiguilles d'une montre ?
\item Quelle est la transformation par laquelle on passe du triangle ABC au triangle EDC ?
\item Quelle est la transformation par laquelle on passe du triangle GEL au triangle HGF ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L’unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner un tel repère sur une feuille de papier millimétré.

Dans ce repère placer les points A(2~;~11), B$(- 3~;~6)$, C$(8~;~- 5)$.

Tracer le triangle ABC.
\item Déterminer l'équation de la droite (AB).
\item Soit $d$ la droite d'équation $y =3 - x$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points B et C sont situés sur la droite $d$ c'est-à-dire que les droites $d$ et (BC) sont confondues.
		\item Démontrer que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}	
\item S est le milieu du côté [AC].

T est le point de la droite $d$ qui a pour abscisse 2,5.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'ordonnée de T.
		\item Démontrer que T est le milieu du segment [BC].
		\item Démontrer que les droites (ST) et (AB) sont parallèles. (Plusieurs
méthodes sont possibles, on n'en donnera qu'une seule.)
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le rapport des longueurs $\dfrac{\text{ST}}{\text{AB}}$.
		\item Sachant que l'aire du triangle ABC est 55 cm$^2$, quelle est l'aire du triangle STC ?
		
Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}