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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1997}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small juin 1997}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon\footnote{Lyon--Metz--Nancy--Reims--Strasbourg} juin  1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{L’exercice consiste à déterminer onze nombres entiers}

\medskip

\textbf{I.} Pour trouver ces nombres, on répondra aux questions suivantes :

\medskip

\textbf{A.} Calculer, en indiquant les étapes : $3 \times 10^{-4} \times 7 \times 10^6 \times1,25$.

\textbf{B. a.} Calculer, en indiquant les étapes : $\left(3 - 4 \times 2\right) : \dfrac{1}{12}$.

\textbf{B. b.} Calculer, en indiquant les étapes : $\left(6\sqrt 2\right)^2 + 1$.

\textbf{C.} Trouver un nombre entier compris entre $300$ et $350$ qui soit le carré d'un nombre entier.

\textbf{D.} Le nombre $4\sqrt 5 + \sqrt{245}$ peut s’écrire sous la forme $a\sqrt 5$. Calculer le nombre entier $a$.

\textbf{E. a.} Donner la solution positive de l'équation $x^2 = 576$.

\textbf{E. b.} Développer et réduire l'expression : $E = (3 x - 4)^2 - (3 x - 5) (3 x - 3)
$.

\textbf{F{}.} Résoudre l'équation $(x - 6) (3x - 93) = 0$.

\textbf{G.} Factoriser l'expression $F = (x - 280)^2 - 8^2$.

On trouvera une expression de la forme $(x - b) (x - c)$.

Quel est le plus petit des nombres $b$ et $c$ ?

\textbf{H.} Le nombre $N$ est compris entre \np{5300} et \np{5400}.
		
Le chiffre des unités de $N$ est égal à celui des dizaines.

La moyenne des chiffres de $N$ est égale à 4.

Déterminer le nombre $N$.

\medskip

\begin{minipage}{.6\linewidth}
\textbf{II.} Vérifier que l'on peut reporter dans la grille ci-contre :

$\bullet~~$horizontalement, les réponses aux questions A. a., B.a, B. b., C. et D. ;

$\bullet~~$verticalement, les réponses aux questions E. a., E. b. F., G. et H.

Reproduire et compléter ainsi cette grille.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\rput(0.5,3.5){A}\rput(0.5,2.5){B}\rput(0.5,1.5){C}\rput(0.5,0.5){D}
\rput(1.5,4.5){E} \rput(2.5,4.5){F} \rput(3.5,4.5){G} \rput(4.5,4.5){H}
\multido{\n=1+1}{5}{\psline(\n,0)(\n,4)} 
\multido{\n=0+1}{5}{\psline(1,\n)(5,\n)}
\rput(1,1){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,1)}
\rput(2,2){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,1)}
\rput(3,0){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,1)}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-4,-0.5)(8,7)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,0)(8,7)
\pspolygon(2,6)(-3,3)(2,0)(7,3)
\uput[u](2,6){A} \uput[l](-3,3){B} \uput[d](2,0){C} \uput[r](7,3){D} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \uput[u](7.8,0){$x$}\uput[r](0,6.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans un repère orthonormal (O,\,I,\,J) tel que OI = OJ = 1~cm,
on considère les points 

A(2~;~6) ;\quad B$(-3~;~3)$ ;\quad C(2~;~0) ;\quad D(7~;~3).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et
$\vect{\text{DC}}$.

Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
\item Calculer les distances AB et AD (on donnera les valeurs
exactes). 

Que peut-on alors dire du parallélogramme ABCD ?
Justifier.
\item Reproduire la figure ci-dessus.
\par Construire le point M centre du parallélogramme
ABCD. Calculer les coordonnées de M.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image du triangle AMD par la symétrie centrale de
centre M ?
		\item Citer une transformation qui permet de passer du triangle ACD
au triangle ABC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On complétera la figure au fur et à mesure.
\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC isocèle en B tel que AB $= 5$~cm
et $\widehat{\text{ABC}} = 120$\degres.
\item On appelle H le pied de la hauteur issue de B dans ce
triangle.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{HBC}}$ ? Justifier
votre réponse.
		\item Calculer la distance BH.
\par{\em On pourra consulter l'extrait de la table trigonométrique
ci-dessous.}

\[\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Mesure de l'angle en degrés&Cosinus&Sinus&Tangente\\
\hline
30\degres&\np{0,866025}&0,5&\np{0,577350}\\
\hline
60\degres&0,5&\np{0,66025}&\np{1,732051}\\
\hline
\end{tabular}\]
	\end{enumerate}
\item Le cercle de centre B et de rayon 5~cm coupe la droite
(AB) en D.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (BH) et (DC) sont parallèles.
		\item Calculer la distance DC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Bruno dispose d'un plan de son studio à l'échelle $\dfrac{1}{100}$ : c'est un rectangle de longueur $4,9$ cm et de largeur $4$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les dimensions réelles en m du studio.
\item Calculer l'aire réelle du studio en m$^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Pour recouvrir le sol de son studio, Bruno cherche à se procurer $20$~m$^2$ de moquette.

Il s'informe des tarifs dans deux magasins, Toumoquette et Beautapis.

Comme on est en fin de saison, chaque magasin propose des conditions exceptionnelles :

\begin{itemize}
\item chez Toumoquette, la pose de la moquette est gratuite ;
\item chez Beautapis, on accorde un rabais de 20\,\% sur le prix de la moquette, mais il faudra payer la pose qui coûte $520$ F{}.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Bruno choisit chez Toumoquette une moquette qui coûte $90$ F 
le m$^2$.

Calculer la dépense de Bruno.
		\item Bruno choisit chez Beautapis une moquette qui coûte également 90 F le m$^2$, mais avant rabais.

Calculer la dépense de Bruno, pose comprise.
	\end{enumerate}
\item Soit $x$ le prix du m$^2$ de moquette, $T$ le prix payé chez Toumoquette, $B$ le prix payé chez Beautapis.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $T$ en fonction de $x$.
		\item Vérifier que chez Beautapis, le prix pour une moquette à $x$ F le m$^2$, est égal, après la réduction de 20\,\%, à $16x$.
		\item En conclure que $B = 16x + 520$.
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal.

Sur une feuille de papier millimétré, construire ce repère de manière que :

\begin{itemize}
\item l'origine soit placée en bas à gauche;
\item en abscisse, 1 cm représente $10$ F ;
\item en ordonnée, 1 cm représente $200$ F{}.
\end{itemize}

Soient $d_1$ et $d_2$ les droites d'équations :

$y = 20x\phantom{ + 520} \quad \left(d_1\right)$

$y = 16x + 520 \quad \left(d_2\right)$.

Tracer $d_1$ et $d_2$ dans ce repère.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, par lecture graphique, le magasin le plus avantageux en fonction du prix du m$^2$ de moquette.
\item Retrouver, par calcul, pour quelles valeurs de $x$ le prix $T$ est inférieur ou égal au prix $B$.
\end{enumerate}
\end{document}