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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small septembre 1997}
\lfoot{\small Besançon}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Besançon\footnote{Nancy-Metz, Reims, Strasbourg} septembre 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ :le résultat sera donné sous la forme de fraction la plus simple possible.


\[A = \dfrac{45}{14} \times \dfrac{21}{30} - \dfrac{1}{6}.\]


\item  Calculer $B$ sans utiliser la calculatrice. 

\[B = \left(3\sqrt 5 + 2\right)\left(3\sqrt 5 - 2\right).\]

\item  Écrire le nombre $C$ sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ est un entier et $b$ le nombre entier le plus petit possible.

\[C= \sqrt{45}- \sqrt{50} + \sqrt{80}.\]

\item  Résoudre l'équation suivante :

\[x^2 = 144.\]

\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On travaille avec l'expression $E= (3x - 2)(x + 5) - \left(x^2 - 25\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $\left(x^2 - 25\right)$.
\item Factoriser $E$.
\item Développer et réduire $E$.
\item Calculer la valeur de $E$ pour $x = 0$, puis pour $x= -\dfrac{3}{2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c l}
2x + y &=& 277\\
x + 3y &=& 256
\end{array}\right.$
\item En sortant du magasin Hyper-Jeunes, deux amis comparent leurs achats :

Alain a payé $277$ francs pour l'achat de deux CD (compact-disque) et d'une
BD (bande dessinée).

Florent a payé $256$ francs pour l'achat d'un CD et de trois BD.

Mais aucun des deux amis ne se rappelle du prix d'un CD et du prix d'une BD.

Retrouver ces prix.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité graphique est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Faire la figure.
		\item Placer les points A(3~;~0) et B(0~;~3).
		\item Placer les points C et D tels que :
C est le symétrique de A par rapport à B. D est le symétrique de B par rapport à O.
	\end{enumerate}
\item Vérifier, par le calcul, que les coordonnées de C et de D sont respective- ment 
$(-3~;~6)$ et $(0~;~-3)$.
\item Prouver que le triangle DAC est rectangle en A.
\item Calculer le rayon du cercle circonscrit au triangle DAC: on en donnera la valeur exacte.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On veut réduire la taille de la flèche RE.

Pour cela on réalise le schéma ci-dessous dans lequel (RE) et (R$'$E$'$) sont parallèles :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(9.5,3)
%\psgrid
\psline(1.2,0.2)(9,0.2)(1.2,2.8)%EOR
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(2.3,0.2)(2.3,2.44)%ER
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(6,0.2)(6,1.2)%E'R'
\uput[d](2.3,0.2){E} \uput[d](6,0.2){E$'$} \uput[r](9,0.2){O} \uput[u](6,1.1){R$'$} \uput[u](2.3,2.4){R}
\rput(0.6,1.5){dessin de départ}\psline{->}(1,1.2)(2.3,0.8)
\rput(8.5,2){dessin final }\psline{->}(7.6,1.6)(6,0.6)
\rput(8.5,1.2){(réduction)}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Données: RE $= 8$ cm \quad OE'$ = 9$ cm \quad EE$' = 15$ cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur de la flèche réduite R$'$E$'$.
\item Quel est dans ce cas le coefficient de réduction ?
\item En utilisant le même schéma, on veut obtenir une flèche R$''$E$''$ dont la longueur est la moitié de la longueur de la flèche de départ RE.

À quelle distance de O sera placé le nouveau point E"?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

La distance de Paris à Lyon est de $500$ kilomètres.

Un train T1 part de Paris à 8 heures; il roule vers Lyon à une vitesse de $200$ km/h constante tout au long du trajet.

Un deuxième train T2 part de Lyon à 8 heures ; il roule vers Paris à une vitesse de 150 km/h constante tout au long du trajet.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter les tableaux ci-dessous :

\begin{center}
train T1 \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|m{3cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
heure&8 h & 10 h\\ \hline
distance à partir de  Paris en km&0 &\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

train T2 \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|m{3cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
heure&8 h & 10 h\\ \hline
distance à partir de  Paris en km&500 &\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Représenter les mouvements de ces deux trains sur \emph{un même graphique} en prenant sur une feuille de papier millimétré le modèle ci-dessous :
	\end{enumerate}		
On pourra prendre 3 cm pour 1 h et 4 cm pour $100$ km		

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.01cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-1,-80)(6,650)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=8,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(6,650)
\uput[r](0,640){\footnotesize Distance à partir de Paris (en km)}
\uput[u](5,0){\footnotesize heure}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Dans toute la suite du problème, les réponses concernant l'heure seront données en heures et minutes :\\
exemple : 10 h 12 min.}


\item Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item À quelle heure le train T1 arrive-t-il à Lyon ?
		\item À quelle heure le train T2 arrive-t-il à Paris ?
		\item À quelle heure et à quelle distance de Paris ces deux trains se croisent-ils ?
	\end{enumerate}
\item Le graphique de la question 1. fait apparaître deux droites d'équation:

\[y = 200x - \np{1600}, \qquad  y = \np{1700} - 150x.\]

Laquelle de ces deux équations correspond au train T1 ? 

Justifier la réponse.
\item Utiliser le résultat de la question 3. pour:
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'heure à laquelle le train T1 arrive à Lyon.
		\item Calculer l'heure à laquelle le train T2 arrive à Paris.
		\item Calculer l'heure à laquelle les deux trains se croisent.
		\item Calculer à quelle distance de Paris le croisement a lieu.
	\end{enumerate}
\item Un troisième train T3 circule sur la même voie et dans le même sens que T1 à vitesse constante.

Il part à 9 h d'Auxerre, située à $150$~km de Paris.

Il passe à 9 h 40 min à 300 km de Paris.

Il s'arrête à Lyon.
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique de la question 1. représenter la position du train T3 à 9 h par le point A et sa position à 9 h 40 min par le point B.
		\item À l'aide du graphique, répondre à la question suivante :
		
le train T3 va-t-il rattraper le train T1 avant d'arriver à Lyon ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}