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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small juin 1978}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Des applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ sont définies par

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(3x - 2)(x - 1) + x^2 - 1 + 3(1 - x)(2x + 1),\\
g(x)&=&(3x -1)^2 - (x - 3)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner, suivant le. puissances décroissantes de la variable $x$,\: $f(x)$ et $g(x)$.
\item Calculer les images par $f$ des réels

\[- 2 \:;\qquad  -1\:;\qquad - \dfrac12.\]


\item Calculer l'image par $g$ du réel $\sqrt 3 - 1$ et sachant que $1,732< \sqrt 3 < 1,733$, déterminer un encadrement du réel $g\left(\sqrt 3 - 1\right)$ d'amplitude $0,1$.
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ les équations 

\begin{center}$f(x) = 0$\qquad et \qquad  $g(x) =f(x)$.\end{center}
\item Soit la fonction rationnelle $q$ définie par

\[q(x) = \dfrac{8\left(x^2 - 1\right)}{-2(x - 1)(x + 2)}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition de $q$.
		\item Simplifier l'écriture de $q(x)$.
		\item Déterminer, s'ils existent, les réels $x$ tels que

\[q(x) = 0\:;\qquad  q(x) = 1\:;\qquad  q(x)= - \dfrac83.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan (P) rapporté à un repère orthonormé \Oij, on donne les points A, B et E définis par

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = 5\vect{\jmath}\quad;\quad \vect{\text{OB}} = 2\vect{\imath} - 3\vect{\jmath}$\quad et \quad$\vect{\text{OE}} = 5\vect{\imath}$\end{center}.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que
 (A, O, B, D) soit un parallélogramme.
\item Soit C le symétrique de B par rapport au point O. 

Déterminer les coordonnées de C, puis calculer $d$(A, B), $d$(A. C), $d$(B, C) et en déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item Soit R l'image du point B par la translation de vecteur $\vect{\text{CA}}$.

Quelle est la nature du quadruplet (A, C, B, R) ? 

Montrer que les droites (AB), (OD) et (CR) concourent en un même point.
\item Déterminer les coordonnées du point S tel que
$\vect{\text{CA}}+ \vect{\text{CB}} + \vect{\text{CS}}= \vect{0}$.
\end{enumerate}
\end{document}