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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne les deux fonctions polynômes $f$ et $g$ telles que
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&\left(x^2+ 1\right)(4 - 3x) - \left(8x - 6x^2\right),\\
g(x)&=&(5 + x)(4 - 3x) + (3x - 4)(x - 4).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ sous la forme $ax^3+ bx^2 + cx + d$ où $a, b, c$ et $d$ sont des nombres.

Calculer $f(0)$ et $f\left(\sqrt 2\right)$.
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie par
\[h(x) = \dfrac{(4 - 3x)(x - 1)^2}{9(4 - 3x)}.\]

Quel est l'ensemble de définition de $h$ ?

Simplifier $h(x)$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation

\[h(x) = \dfrac{1}{81}.\]

\item Déterminer l'entier relatif $n$ tel que $f\left(\sqrt 2\right)$
appartienne à l'intervalle 

$\left[n \times 10^{-2}~;~(n + 1) \times 10^{-2}\right]$.

On donne $\sqrt 2 =1,414 21\ldots$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

\emph{Le problème suivant sera illustré par un dessin soigné}

\medskip

Soit \Oij{} un repère orthonormé du plan $(P)$.

On pose $\vect{\text{OI}} = \vect{\imath}$ et $\vect{\text{OJ}} = \vect{\jmath}$.

On considère la droite $(\Delta)$ de $(P)$ dont une équation est 
\begin{center}$2x -3y + 9 = 0$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées du point F commun aux droites $(\Delta)$ et (OJ) ? 

Le point A(3~;~5) est-il un élément de $(\Delta)$ ?
\item Soit B(5~;~2). 

Montrer que le cercle $\mathcal{C}$, de centre B, de rayon BA, est tangent en A à la droite $(\Delta)$.
\item On appelle C le point diamétralement opposé à A sur le cercle $\mathcal{C}$, et $(D)$ la médiatrice du segment [AC]. 

Écrire une équation de la droite $(D)$.
\item Calculer les coordonnées du point H commun aux droites $(D)$ et (OI). 

Vérifier que H appartient au cercle C. 

En déduire la nature du triangle (A, H, C).
\end{enumerate}
\end{document}