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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R \times \R$, le système de deux équations du premier degré-à deux inconnues suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}X + Y +3&=&2\\
X - Y + 3&=&6.
\end{array}\right.\]
\item $a, b$ et $c$ étant trois nombres réels, on considère l'application $p$, de $\R$ dans $\R$ telle que
\[p(x) = ax^2 + bx + c.\]
Sachant que $p(0) = 3$, quel!e est la valeur de $c$ ?
\item L'application $p$ vérifie également les conditions :
\begin{center}$p(1) = 2$\qquad  et \qquad $p(-1) = 6$; \end{center}
Déduire de la question 1. les valeurs respectives de $a$ et
de $b$.
\item Calculer $p\left(\dfrac23\right), \: p\left(\dfrac{-5}{7}\right),\: p\left(\sqrt 2\right)$ et $p\left(1 + \sqrt 3\right)$.
\item Donner de $p\left(\sqrt 2\right)$ une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien $P$ muni d'un repère orthonormé \Oij{} on considère les points A, B, C et W de coordonnées respectives :
\begin{center}A(5~;~6),\qquad  B(5~;~2),\qquad  C(1~;~6) \quad et \quad W(3~;~4).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que W est le milieu du segment [B, C].
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

Montrer que le triangle (A, B, C) est un triangle rectangle isocèle.
\item Montrer que les points A, B et C appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}$ de centre W et dont on précisera le rayon.
\item Soit $(D)$ la droite du plan dont une équation est $y = x - 3.$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que B appartient à la droite $(D)$.
		\item Démontrer que les droites $(D)$ et (BC) sont orthogonales.
		\item Que peut-on dire de la position de la droite $(D)$ par rapport au cercle 
$\mathcal{C}$ ?
\item Démontrer que les droites (WA) et $(D)$ sont parallèles.
	\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point E défini par
\begin{center}E $\in \mathcal{C} \cap (\text{WA})$,\quad  E $\ne$ A.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}