\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Bordeaux juin 1953},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Bordeaux}}
\rfoot{\small{juin 1953}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Bordeaux juin 1953}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation
\[\dfrac{5x - 4}{2} - (2x - 5) = \dfrac{4x + 7,75}{3} - \dfrac{5(8x -  13)}{12}.\]

\item Dans un même système d'axes rectangulaires, représenter graphiquement les fonctions

\begin{center}(1)\quad $y = \dfrac x2 + 3$\quad et\quad 
(2) \quad 
$y= - 2x + 8$.\end{center}

Trouver les coordonnées du point d'intersection A des deux droites représentatives 
$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

On prendra la même unité sur O$x$ et sur O$y$.
\item $\left(D_1\right)$ coupe O$x$ en B, $\left(D_2\right)$ coupe O$x$ en C et Oy en D.

Calculer les longueurs des côtés du triangle BCD.

Indiquer la forme de ce triangle.

Vérifier sur le graphique.
\item Trouver la fonction représentée graphiquement par la droite AM, M étant le milieu de [BC].
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

Soit un triangle ABC, tel que BC $= 2a$, \:($a$ étant une longueur donnée)\:$\widehat{\text{C}} = 45\degres$
et $\widehat{\text{A}} = 60\degres$.

On mène les hauteurs [BE] et [CF].

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les quatre points B, F{}, E, C sont sur un même cercle.

Préciser la position de son centre I.

Quelle est la position du point E sur le cercle ?
\item Montrer que le triangle IFE est équilatéral.
\item Calculer en fonction de $a$ la longueur des segments [CE] et [BE].

En utilisant le triangle AEB, calculer ensuite AB, puis AE.
\item Soit K l'intersection de (IF) avec (BE).

Montrer que les triangles IBK et CFE sont semblables.
\end{enumerate}
\smallskip
\end{document}