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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Bordeaux juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC rectangle en A : tel que AB $= 10$~cm et AC $= 3$~cm.

Soit M un point variable sur [BC], entre B et C.

Le point M se projette en N sur (AB) et en P sur (AC).

On pose BN $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer MN en fonction de $x$.

Le rectangle ANMP peut-il être un carré ?
\item On représente le périmètre du rectangle ANMP par $y$.

Représenter graphiquement les variations de $y$ en fonction de $x$.
\item D'après le graphique, montrer, d'une manière indiscutable, que le périmètre du rectangle ANMP peut, pour une certaine valeur de $x$, être égal à BN.

Quelle est alors la valeur de BN ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle rectangle isocèle AOB tel que OA = OB.

Soit M un point du segment [OB]. On trace la droite (AM) et, par B, on mène la perpendiculaire à cette droite, qui rencontre respectivement (AM) et le prolongement de [AO] en I et O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles BDO et AOM.

Montrer que OA = OB.
\item Le point M se déplaçant sur le segment [OB] :
	\begin{enumerate}
		\item Que peut-on dire de la droite (DM) ? 
		
Démontrer que sa direction est fixe.
		\item Démontrer que le quadrilatère BIOA est inscriptible.
		
Sur quelle ligne se déplace le point I ?
		\item Démontrer que le quadrilatère BIOA est inscriptible.
		
Où se trouve le centre du cercle circonscrit ?

Démontrer que ce centre se déplace sur une droite passant par O.
		\item Démontrer que [IO) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{DIM}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}