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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Bordeaux juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système d'équations suivant:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2y - 3x+ 4 &=& 0,\\
3y + 2x - 7&=&0.
\end{array}\right.\]

\item Calculer $y$ en fonction de $x$ dans chacune des équations précédentes et construire les droites $(D)$ et $(D')$ représentant les variations respectives de fonctions obtenues. 

(On prendra 3 cm pour unité graphique sur chacun des axes rectangulaires.)

Retrouver graphiquement la solution du système donné au \textbf{1.}
\item Les droites $(D)$ et $(D')$ coupent l'axe des ordonnées
respectivement en A et B. 

Soit C le point d'intersection des droites $(D)$ et $(D')$ et I le milieu de AB.

Déterminer l'équation de la médiane (CI) du triangle
ABC.
\item On mène de A la parallèle à (CI), qui coupe la
droite $(D')$ en E, puis de B la parallèle à (CI), qui coupe
la droite $(D)$ en F{}.

Montrer que le quadrilatère ABFE est un losange et déterminer l'équation de (EF).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On construit le triangle ABM tel que AB $= 4$~cm,\, BM $= 3$~cm,\, AM $= 6$~cm.

On trace le segment [AC] tel que AC $= 9$~cm et que (AM) soit la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ABM et AMC sont semblables.

En déduire les égalités d'angles et la longueur, en centimètres, du segment [MC].
\item On construit le cercle (O), de centre O, circonscrit au triangle AMC.

Ce cercle recoupe la droite (AB) en D.

Montrer que les triangles MBD et AMC sont semblables.

Calculer la longueur du segment [BD] et montrer que la droite (BM) est tangente au cercle (O).
\item La droite (BM) coupe la droite (AC) en E.

Montrer que les droites (DC) et (BE) sont parallèles.

En déduire les longueurs, en centimètres, des segments [CE], [ME] et [DC].
\end{enumerate}
\end{document}