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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Bordeaux juin 1967~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Sur un système d'axes orthonormé, l'unité étant le centimètre, on place le point A d'abscisse + 3 et d'ordonnée nulle et le point B d'abscisse nulle et d'ordonnée $- 6$.


\begin{enumerate}
\item Si M est un point de la droite (AB), quelle est la relation qui lie les coordonnées $x$ et $y$ de ce point ?

Vérifier soigneusement le résultat à l'aide des données.
\item Quelle est l'abscisse, $x$, du point particulier N de
la droite (AB) dont l'ordonnée est égale aux $\dfrac23$ de
l'abscisse ?

Quelle est alors l'équation de la droite (ON) ?
\item Évaluer en fonction de $x$ la valeur OM$^2$, M étant un point quelconque de la droite (AB).

Déterminer les points M particuliers pour lesquels la distance OM est égale à $6$~cm.
\item Montrer que l'expression de OM$^2$ peut se mettre sous la forme 
\begin{center}OM$^2 = 5(x - 2,4)^2 + 7,2$.\end{center}

 En utilisant ce résultat, dire pour quelle valeur de $x$ la distance OM est la plus petite possible ; valeur de ce minimum.

Quelle est alors l'équation de OM ?

Quelle remarque pouvez-vous faire?
\end{enumerate}


\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Sur un segment de droite [AB], tel que AB $= 10$~cm comme diamètre, on décrit un demi-cercle de centre C.

Du même côté de AB, on construit un triangle équilatéral OAB et, de O comme centre, on décrit le cercle de rayon OA.

Soit M un point du demi-cercle de centre C construit sur [AB] comme diamètre.

On mène les droites (AM) et (BM) qui rencontrent le cercle de centre O respectivement en P et R.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les mesures en degrés des angles $\widehat{\text{AMB}},\: \widehat{\text{APB}}$ et $\widehat{\text{PBR}}$.
\item Quelle est la mesure de l'arc $\wideparen{\text{PR}}$ ?

Calculer la longueur de la corde [PR].
\item Calculer les mesures des segments [MP] et [MR] en fonction de MA $= b$ et MB $= a$.
\item Montrer que l'aire du quadrilatère RPBA est égale au demi-produit des nombres qui mesurent ses diagonales.

Calculer cette aire en fonction de $a$ et de $b$.
\end{enumerate}
\end{document}