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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Bordeaux}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Bordeaux juin 1969}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Un rectangle a pour périmètre 20 cm ; sa longueur et sa largeur sont respectivement mesurées en centimètres par les nombres $a$ et $b$.

Si l'on augmente sa longueur de $6$~cm et si, en même temps, on diminue sa largeur de $2$~cm, son aire ne varie pas.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer les dimensions, $a$ et $b$, de ce rectangle.
\item On considère un rectangle ABCD tel que AB $= 6$~cm et BC $= 4$~cm.

Un point M parcourt le segment [AB] ; on pose AM $= x$ cm.

Évaluer, en fonction de $x$, l'aire, $y$, du triangle AMD et l'aire, $z$, du trapèze MBCD.
\item Étudier les variations de $y$ et de $z$ lorsque M parcourt le segment AB. Ensuite, représenter graphiquement ces variations.
\item Est-il possible que ces deux aires soient égales ?

Pour quelle position de M ? 

Donner une solution algébrique à cette question et faire une vérification graphique.
\item Rechercher graphiquement pour quelle valeur de $x$ l'aire, $y$, du triangle est la moitié de l'aire, $z$, du trapèze.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un segment [AB] dont la mesure, en centimètres, est $4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point H qui partage intérieurement AB dans le rapport~. Justifier votre construction.
Ensuite, évaluer les mesures des segments HA et HB.
\item Sur AB comme côté, on construit un parallélogramme ABCD tel que mes. BC = 5 cm et que H soit le pied de la hauteur CH issue du sommet C.

Calculer $\cos \widehat{\text{HBC}}$ ; quelle est la particularité du triangle HBC ?

Donner la mesure de la hauteur [CH] du parallélogramme.
\item Soit E le point du segment [DA] tel que  DE $= 2$~cm.

Soit F la projection orthogonale de E sur (DC).

Démontrer l'égalité 
\begin{center}BC $\cdot$ DF = DE $\cdot$ HB.\end{center}

En déduire la mesure du segment DF, puis celle du segment EF.
\item La droite (BE) coupe la droite (DC) en I.

Comparer les triangles IDE et ICB.

En déduire la mesure du segment [ID].
\end{enumerate}
\end{document}