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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Bordeaux juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les côtés BC $= a$, CA $= b$ et AB $= c$ d'un triangle ABC sont directement proportionnels aux nombres 7, 5 et 4.

Le périmètre du triangle étant $32$~cm, calculer ses côtés et le construire.
\item Par un point D du segment [AB] on mène la parallèle à BC ; cette droite coupe le côté AC au point E ; par D également on mène la parallèle à AC ; celte droite coupe le. côté BC au point F.

On pose AD $= x$.

Exprimer en fonction de $x$, en utilisant la similitude de triangles, la longueur $y_1$ du segment [DE] et la longueur $y_2$ de [DF].
\item Représenter graphiquement $y_1$ et $y_2$ en fonction de $x$ quand D varie sur [AB] entre A et B.
\item Déterminer par le calcul le nombre $x$ pour que le parallélogramme DECF soit un losange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère un cercle de centre O et de rayon $R$, dans lequel la corde [AB] est le côté du carré inscrit.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB en fonction de $R$.
ct IP.

\item On prolonge [AB] au-delà de B d'une longueur BP = AB et l'on trace, de P{}, les droites (PM) et (PN) tangentes au cercle (O) en M et N.

Calculer PM et OP.
\item On trace (MN) qui coupe (OP) au point I.

Démontrer la similitude des triangles OMI et OMP d'une part, MIP et OMP d'autre part.

Donner la valeur du rapport de similitude dans chaque cas.

En déduire que OI $= \dfrac{\text{MI}}{2}$ et que MI $= \dfrac{\text{IP}}{2}$.
\item Calculer, en fonction de $R$, les longueurs des segments 0[OI], [MI] et [IP].
\end{enumerate}
\end{document}