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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Bordeaux juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Algèbre}

\medskip

On définit les applications $P$ et $Q$ de $\R$ dans $\R$ par 
\[\begin{array}{l c l}
P(x) &=&(x - 2)(x - 3)- (2 - x)(5 - x)- 4 + x^2\:\text{ et}\\
Q(x)&=&x^2 -4x + 4 -(x + 1)(3x - 6).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $P(x)$ et $Q(x)$ sous la forme de produits de polynômes du premier degré.
\item Développer $P(x)$ et $Q(x)$, puis ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Calculer les images par $P$ et $Q$ des nombres
\[0,\qquad 2,\quad \text{et}\quad \sqrt 2.\]

\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $Q(x) = 0$.

Soit $\mathcal{E}$ la partie de l'ensemble $\R$ privé des racines
de $Q(x) = 0$.

On considère l'application $f$, de $\mathcal{E}$ dans $\R$, défini par
\[f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}.\]

Donner une écriture simplifiée de $f(x)$.
\item Calculer $f\left(\sqrt 6\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien rapporté au repère orthonormé $\left(\text{O},~\vect{\text{OI}}, \:\vect{\text{OJ}}\right)$, on considère les points 
\begin{center}A$(4~;~- 2)$,\qquad B(0~;~6)\quad et \quad C$(0,- 1)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les composantes des vecteurs $\vect{\text{AB}},\:\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
\item Trouver les normes de ces trois vecteurs ; en déduire que le triangle (A, B, C) est rectangle en A.
\item On appelle D le point du plan tel que les bipoints (A, C) et (B, D) soient équipollents.

Calculer les coordonnées du point D.

Quelle est la nature de (A, B, D, C) ?
\item La diagonale [AD] coupe l'axe (O,~J) du repère au point E.

Déterminer les coordonnées de E.

Déterminer une équation du premier degré à deux inconnues dont l'ensemble des solutions est représenté par la droite (AE).
\item La droite (AE) coupe l'axe du repère (O,~I) en un point G.

Calculer les coordonnées de G.

Calculer la distance des points E et G.
\end{enumerate}
\end{document}