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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small juin 1981}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit les expressions suivantes de nombres
réels:

\[\begin{array}{l c l}
A&=&\left(1 - 3\sqrt 3\right)^2 - \left(5 + \sqrt 3\right)^2,\\
B&=&\left(\sqrt 2 - 1 + \sqrt 3\right)\left(\sqrt 2 + 1 - \sqrt 3\right).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, simplifier les expressions $A$ et $B$.
\item Écrire le réel $\dfrac AB$ sous une forme aussi simple que possible, sans radical au dénominateur.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x$ et $y$ étant deux réels, résoudre le système:

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
3x - y - 7 &=& 0\qquad& (1)\\
x + 3y + 1&=&0\qquad & (2)
\end{array}\right.\]

\item Soit un plan $P$ muni d'un repère orthonormé \Oij.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives (1) et (2) du 1.
		\item Vérifier graphiquement le résultat trouvé à la première question.
		\item Préciser la position relative des deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ; justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} placer les points suivants:

\begin{center} A$\left(\dfrac52~;~0\right)$ ;\qquad  B$\left(-3~;~\dfrac32\right)$ ;\qquad  C$\left(-\dfrac92~;~7\right)$.\end{center}

\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{BA}},\: \vect{\text{CB}}$.
\item Calculer les distances BA et CB; que peut-on dire du triangle (A, B, C) ?
\item On donne D$\left(1~;~\dfrac{11}{2}\right)$ et soit M le milieu du segment [AC] ; montrer qu'il existe un réel $k$ que l'on calculera tel que $\vect{\text{BD}} =k\vect{\text{BM}}$ ; en déduire la position de M sur le segment [BD].
\item Déterminer la nature du quadrilatère (A, B, C, D).
\end{enumerate}
\end{document}