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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1984}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small juin 1984}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux juin 1984 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan est muni d'un repère (O, I, J).

Soit $D$ la droite qui représente l'application affine

\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to&\R\\
&x&\longmapsto&f(x) = 2x - 4
\end{array}\]

$D$ coupe la droite (OI) en A et la droite (OJ) en B.

Préciser les coordonnées de ces deux points et construire $D$.
\item Calculer les réels $a$ et $b$ pour que l'application affine

\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to&\R\\
&x&\longmapsto&g(x) = ax + b
\end{array}\]

remplisse les conditions suivantes : $g(0) = 4$ et $g( - 2) = 0$.

Construire $D'$ représentation graphique de $g$ dans le repère précédent.
\item Montrer que la droite $D'$ est l'image de la droite $D$ par la symétrie centrale de centre O.
\item Utiliser les droites $D$ et $D'$ pour déterminer l'ensemble des points M du plan vérifiant le système d'inéquations :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&\geqslant &2x - 4\\
y &\leqslant & 2x + 4
\end{array}\right.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Le dessin sera complété tout au long de l'exercice.

L'unité choisie est le centimètre.

Dans le plan on considère un triangle équilatéral ABC de côté 6.

Tracer la hauteur issue de A qui coupe [BC] en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AH.
\item Préciser la position du centre O du cercle circonscrit $\mathcal{C}$ au triangle AHB.

Quel est le rayon du cercle $\mathcal{C}$ ?
\item Démontrer que les droites (OH) et (AC) sont parallèles.
\item Soit P le symétrique de O par rapport à H.

Quelle est la nature du quadrilatère COBP ?
\item Démontrer que le quadrilatère AOPC est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\end{document}