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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1985}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small juin 1985}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux juin 1985 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les applications de $\R$ dans $\R$ telles que

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&\left(9x2-6x +1\right)- (2x- 5)^2,\\
g(x)&=&(x + 4)(5x - 3)-(7x + 9)(x + 4) - \left(x^2 + 8x + 16\right).
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Développer $f(x)$ et $g(x)$.
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de
facteurs.
\item Calculer $f(- 4)$ et $f\left(\dfrac65 \right)$.

L'application $f$ est-elle  une bijection de $\R$ dans $\R$ ?
\item Calculer $f\left(\sqrt 2\right)$,\: $g\left(\sqrt 2\right)$ et rendre rationnel le dénominateur de

\[\dfrac{5 \sqrt 2 - 6}{- 3\sqrt 2 - 16}\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit, dans un repère orthonormé \Oij{}les points:

\begin{center}A(4~;~3)\:; \qquad B$(1~;~-2)$\quad  et \quad  C$(-4~;~1)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure et la compléter au fur et à mesure.
\item Calculer AB, BC et AC.

En déduire la nature du triangle ABC.
\item Tracer le point M de la droite (AB) tel que
$\vect{\text{BM}} = \dfrac13\vect{\text{BA}}$.

Calculer les composantes (ou coordonnées) des vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et $\vect{\text{BM}}$ et en déduire les coordonnées $x_{\text{M}}$ et $y_{\text{M}}$.
\item Tracer par M la parallèle à la droite (AC) qui coupe (BC) en N.

Calculer les composantes des vecteurs $\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{BN}}$ et en déduire les coordonnées du point N.
\item Calculer les coordonnées du milieu E du segment [AC].

Le cercle de diamètre [ACJ coupe la droite (BE) en B et F{}. 

Quelle est la nature du quadrilatère BAFC ?
\end{enumerate}
\end{document}