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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small juin 1986}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $a = \dfrac{14}{15}$  et $b = \dfrac{7}{12}$.

Calculer $a + b\: ;\quad a^2 - b^2\:;\quad\dfrac ab$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $A = \dfrac{\sqrt 6 - 2}{\sqrt 6 + 2}$.

Écrire $A$ sous la forme $p +q\sqrt 6$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par :

\[f(x) = 2x^2 - 18 + (x +3)^2 - (x + 3)(5x -4).\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un produit de deux facteurs.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre dans $\R$ l'équation et l'inéquation suivantes :

\begin{enumerate}
\item $(2x - 3)(x + 1) = (x + 1)^2$.
\item $\dfrac{x + 3}{2} \leqslant \dfrac{2x + 5}{3}.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij. Placer les points :

\begin{center}
A(1~;~3), \qquad  B(8~;~7) \quad et \quad C$(7~;~-1)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AC].
\item Déterminer les coordonnées du symétrique D de B par rapport à I.
\item Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires.

En déduire la nature du quadrilatère (ABCD).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère le trapèze rectangle ABCD tel que:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.6,3)
\pspolygon(0.2,0.2)(4.2,0.2)(2.7,2.2)(0.2,2.2)%DCBA
\uput[ul](0.2,2.2){A} \uput[ur](2.7,2.2){B} \uput[dr](4.2,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\rput(4.6,1.9){AB = 6 cm}
\rput(4.6,1.5){AD = 6 cm}
\rput(4.6,1.1){DC = 8 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

H est le projeté orthogonal de B sur la droite (DC). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du trapèze (ABCD).
\item Calculer la longueur AC.
\item On désigne par I le point d'intersection des droites (AC) et (BH).

Calculer la longueur AI.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\emph{Traiter au choix l'une des options}

\medskip

\textbf{Option A}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij. 

On désigne par $D_1$ et $D_2$ les droites d'equations respectives :

\[D_1 : \quad x + 2y- 3 = 0 \qquad D_2 : \quad 2x - y + 4 = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Construire les droites DI et D2•
\item La droite $D_1$ coupe l'axe des abscisses en A, et l'axe des ordonnées en H.

La droite $D_2$ coupe l'axe des abscisses en B, et l'axe des ordonnées en C.

Les droites $D_1$ et $D_2$ se coupent en K.

Calculer les coordonnées des points : A, B, C, H et K.
\item Démontrer que les droites $D_1$ et $D_2$ sont perpendiculaires.
\item Démontrer que les droites (AC) et (BH) sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Option B}

\medskip

En vue d'une étude statistique, un sylviculteur décompte les pins maritimes d'une parcelle en
fonction de la circonférence de leur tronc exprimée en mètres.

1 arbre est représenté par un trait (exemple :
\psset{unit=3mm}
\begin{pspicture}(1,1)
\psline(0,1)(0,0)(1,0)
\end{pspicture} représente 2 arbres).

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(7,7)
%\psgrid[subgriddiv=1]
\rput(0,6.4){1,00} \psframe(2,6)(2.8,6.8)
\rput(0,5.4){1,10} \psframe(2,5)(2.8,5.8)\psline(2,5.8)(2.8,5)\psline(3,5.8)(3,5)(3.8,5)(3.8,5.8)
\rput(0,4.4){1,20}\psframe(2,4)(2.8,4.8)\psline(2,4.8)(2.8,4)\psframe(3,4)(3.8,4.8)\psline(3,4.8)(3.8,4)\psline[linecolor=red](4,4)(4,3)(5,3)\psline(4,4.8)(4,4)(4.8,4)
\rput(0,3.4){1,30} \psframe(2,3)(2.8,3.8)\psline(2,3.8)(2.8,3)\psframe(3,3)(3.8,3.8)\psline(3,3.8)(3.8,3)\psframe(4,3)(4.8,3.8)\psline(4,3.8)(4.8,3)\psframe(5,3)(5.8,3.8)\psline(5,3.8)(5.8,3)\psframe(5,3)(5.8,3.8)\psline(5,3.8)(5.8,3)\psframe(6,3)(6.8,3.8)\psline(6,3.8)(6.8,3)
\rput(0,2.4){1,40} \psframe(2,2)(2.8,2.8)\psframe(2,2)(2.8,2.8)\psline(2,2.8)(2.8,2)\psframe(3,2)(3.8,2.8)\psline(3,2.8)(3.8,2)\psframe(4,2)(4.8,2.8)\psline(4,2.8)(4.8,2)\psline(5,2.8)(5,2)
\rput(0,1.4){1,50} \psframe(2,1)(2.8,1.8)\psline(2,1.8)(2.8,1)\psframe(3,1)(3.8,1.8)
\rput(0,0.4){1,60}\psframe(2,0)(2.8,0.8)\psline(2,0.8)(2.8,0)\psline(3,0.8)(3,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de cette série statistique indiquant les valeurs de caractère, les effectifs et les fréquences.
\item Tracer le diagramme en bâtons des effectifs.
\item Calculer la circonférence moyenne d'un pin de cette parcelle.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Option C}

\medskip

Soit le dessin technique suivant - cotes en mm.

Le dessin présente un axe de symétrie $x, y$.

\begin{center}
\psset{unit=1.35cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2.4,0)(2,4.3)
%\psgrid
\psframe(-1.6,0.7)(1.6,3.7)
\pswedge[fillstyle=vlines](0,3.7){0.65}{180}{360}
\pspolygon[fillstyle=vlines](-1.6,0.7)(-1,3.7)(-1.6,3.7)
\pspolygon[fillstyle=vlines](1.6,0.7)(1,3.7)(1.6,3.7)
\psline[linestyle=dashed](0,0.7)(0,3.7)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(-1.6,0.2)(1.6,0.2)\uput[d](0,0.2){48}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(-1,4)(1,4)\uput[u](0,4){30}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(-2.2,0.7)(-2.2,3.7)\uput[l](-2.2,2.2){50}
\uput[u](0,3.7){$x$}
\uput[d](0,0.7){$y$}
\uput[dl](-1.6,0.7){A} \uput[dr](1.6,0.7){B} \uput[ur](1,3.7){C} \uput[ul](-1,3.7){D}
\uput[ur](1.6,3.7){E} \uput[ul](-1.6,3.7){F} \uput[ur](0,3.7){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure du côté [AD] en mm.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
		\item Calculer l'aire de ce quadrilatère en mm$^2$ puis
en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\item  La mesure du diamètre $D$ du demi-disque est égale aux $2/3$ de la mesure du côté [DC].
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la mesure du diamètre $D$ en mm.
		\item Calculer l'aire du demi-disque en mm$^2$.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'aire totale des parties hachurées ?
		\item Quel est le pourcentage de l'aire des parties hachurées par rapport à l'aire du rectangle ABEF ?
	\end{enumerate}	
\item Si on veut représenter le dessin à l'échelle 1/5 quelle sera la mesure de AB en mm ?
\end{enumerate}
\end{document}