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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small juin 1988}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

À tout nombre réel $x$ différent de 2, on associe le nombre :

\[A(x) = \dfrac{3x^2 - 2}{x - 2}.\]

Calculer $A(x)$ lorsque :

\[x = 0 \:;\quad  x = - 3\:;\quad x = \dfrac12\:; \quad x = \sqrt 3.\]

(Donner le résultat sous la forme $p + q \sqrt 3$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.)

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x)=: (x - 3)(2x + 5) + x^2 - 9.\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) =  - 24$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(5,5)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=hlines,linewidth=1.25pt](1,0.5)(3.4,0.5)(3.4,1.5)(4.4,1.5)(4.4,3.9)(3.4,3.9)(3.4,4.9)(1,4.9)(1,3.9)(0,3.9)(0,1.5)(1,1.5)
\psframe[linewidth=1.25pt](0,0.5)(4.4,4.9)
\psframe(1,1.5)(3.4,3.9)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0,0.3)(1,0.3)\uput[d](0.5,0.3){3}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1,0.3)(3.4,0.3)\uput[d](2.2,0.3){$x$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(3.4,0.3)(4.4,0.3)\uput[d](3.9,0.3){3}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(5,0.5)(5,1.5)\uput[r](5,1){3}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(5,1.5)(5,3.9)\uput[r](5,2.7){$x$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(5,3.9)(5,4.9)\uput[r](5,4.4){3}
\uput[ul](1,3.9){A} \uput[ur](3.4,3.9){B} \uput[dr](3.4,1.5){C} \uput[dl](1,1.5){D}
\uput[ul](0,4.9){P} \uput[ur](4.4,4.9){Q} \uput[dr](4.4,0.5){R} \uput[dl](0,0.5){S}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Exprimer, en fonction de $x$, l'aire de la partie hachurée.
\item Si l'aire de la partie hachurée est égale à 133 :
	\begin{enumerate}
		\item quelle est l'aire du carré PQRS?
		\item quelle est la longueur du côté du carré PQRS?
		\item quelle est la longueur x du côté du carré ABCD?
	\end{enumerate}
\item On vérifiera que le nombre $x$ ainsi trouvé est tel que:

\[x^2 +12x = 133.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Faire la figure sur du papier quadrillé.

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB $= 8$ cm et AC $= 6$ cm.

On désigne par : D le milieu du segment [AB]; 

\phantom{On désigne par : }I le milieu du segment [CD] ;

\phantom{On désigne par : }P le point d'intersection des droites (BC) et (AI) ;
 
\phantom{On désigne par : }E le point tel que $\vect{\text{CE}} = \vect{\text{AD}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les longueurs BC et DC.
		\item Déterminer la tangente de l'angle $\widehat{\text{CDA}}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le point E appartient à la droite (AI).
		\item Démontrer que le quadrilatère BDCE est un parallélogramme. On notera O son centre.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que représente le point P dans le triangle CDE?
		\item Que peut-on dire du point d'intersection des droites (DP)
et (EC) ?
		\item Exprimer le vecteur $\vect{\text{EP}}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{BA}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

Faire la figure sur du papier quadrillé.

Dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} 
placer les points:

\begin{center}A(2~;~0) ;\qquad B(6~;~2) ;\qquad C$(-2~;~2)$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances AB et AC.

Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item Déterminer Une équation de la droite $(\Delta)$ passant par A et perpendiculaire à la droite (AC).
\item Soit $\left(\Delta'\right)$ la parallèle à l'axe des ordonnées passant par B.

Déterminer les coordonnées du point d'intersection E des droites $(\Delta)$ et $\left(\Delta'\right)$.
\item Démontrer que les points A et B appartiennent au cercle $C$ de diamètre [CE].

Déterminer les coordonnées du centre F de ce cercle.
\end{enumerate}
\end{document}
