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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Brevet Bordeaux}
\lfoot{\small juin 1989}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par 

\[f(x) = 2\left(4x^2 - 1\right) -(2x - 1)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.

Calculer $f\left( 1- \sqrt 2\right)$.
\item Factoriser $f(x)$.

Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x)
= 0$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip On considère un rectangle ABCD
tel que AB $= 6$ et AD $= 2$.

M étant un point du segment [BC], on note $x$ la distance BM. 

N étant un point du segment [CD], on note $y$ la distance CN.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.6)(7,3)
\psframe(0,0)(6,2)%ABCD
\psline(2.4,2)(0,0)(6,0.9)%NAM
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6.3,0.9)(6.3,0)\uput[r](6.3,0.45){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.4,2.2)(6,2.2)\uput[u](4.2,2.3){$y$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-0.3,0)(-0.3,2)\uput[l](-0.3,1){$2$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,-0.2)(6,-0.2)\uput[d](3,-0.3){$6$}
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](6,0){B} \uput[ur](6,2){C} \uput[ul](0,2){D}
\uput[ur](6,0.9){M} \uput[ul](2.4,2){N} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Exprimer, en fonction de $x$, l'aire du triangle ABM.
\item Exprimer, en fonction de $y$, l'aire du trapèze ABCN.
\item Déterminer $x$ et $y$ de telle sorte que les distances BM et DN soient égales, et que l'aire du trapèze ABCN soit le triple de l'aire du triangle ABM.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\emph{Les trois questions sont indépendantes}

\medskip

\emph{Faire la figure sur du papier quadrillé (l'unité de longueur est le centimètre)}

\medskip

On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB $= 6$ et AC $= 4$.

On désigne par
\begin{itemize}
\item D le symétrique de B par rapport à A,
\item E le symétrique de C par rapport à A,
\item F le point tel que DECF soit un parallélogramme.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance BC.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère BCDE?
		\item Comparer les vecteurs $\vect{\text{BC}}$, $\vect{\text{ED}}$ et $\vect{\text{CF}}$ ; que peut-on en déduire pour le point C ?
	\end{enumerate}	
\item On désigne par I le milieu du segment [AD], G le point d'intersection de la droite (CI) avec la parallèle à la droite (BD) passant par E.

Démontrer que I est le milieu du segment [CG].
\end{enumerate}
Les trois questions sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Faire la figure sur du papier quadrillé (l'unité de longueur est
le centimètre).

Dans le plan rapporté au repère orthonormé (O, I, J), placer les points:
A de coordonnées $(- 3~;~1)$ ; B de coordonnées (5~;~7);
P de coordonnées (4~;~0).

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{PA}}$ et $\vect{\text{PB}}$. 
		
Démontrer que ABP est un triangle rectangle isocèle.

		\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle circonscrit au triangle ABP; calculer les coordonnées de son centre S et son rayon.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la tangente en P au cercle $\mathcal{C}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ est parallèle à la droite (AB).
		\item Déterminer une équation de la droite $\Delta$.
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection E de la droite $\Delta$ avec l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate}		
\item Quelle est la nature du quadrilatère ASPE ? 
\end{enumerate}

\smallskip

\emph{Rédaction et présentation: $4$ points}
\end{document}