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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Diplôme national du brevet Collège}
\lfoot{\small{Bordeaux}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Bordeaux juin 1990~\decofourright}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

Les exercices \textbf{I}, \textbf{II}, \textbf{III} sont indépendants.

\medskip

\textbf{I}\quad Soient les nombres

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{2}$ ;&$B = \dfrac{\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{4}}{1 + \dfrac{2}{5}}$ ;& $C = \dfrac{4 \times \left(10^{- 2} \right)^3 \times 10^2}{12 \times 10^{- 3}}$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$, $B$ et $C$ et donner les résultats sous forme d'une fraction
irréductible en indiquant toutes les étapes du calcul.
\item Quels sont parmi les nombres $A$, $B$ et $C$ ceux qui sont décimaux ? Donner
alors leur écriture décimale.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II}\quad Calculer

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\left(\sqrt{5} - \sqrt{2}\right) \left(\sqrt{5} + \sqrt{2}\right)$ ;& $\left(\sqrt{5} - \sqrt{2}\right)^2$ ;&$\sqrt{13^2 - 12^2}$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{III}\quad $x$ désignant un nombre réel, on pose

\[f(x) = 25 x^2 - 4 - (2x + 3)(5x + 2).\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser $25x^2 - 4$.
\item Utiliser ce résultat pour factoriser $f(x)$.
\item Résoudre l'équation $(5x + 2)(3x - 5) = 0$.
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et calculer $f(x)$ pour
$x = 1$ ensuite pour

$x = - \sqrt{2}$.
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

Les exercices \textbf{I} et \textbf{II} sont indépendants.

\medskip

\textbf{I} - Dans cet exercice, les questions 1., 2. et 3. sont indépendantes.

L'unité utilisée étant le centimètre, on considère le plan rapporté à
un repère orthonormal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(4~;~1) ; B(0~;~4) ; C$(-6~;~-4)$ et compléter la figure au
fur et à mesure des questions.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les longueurs AB, BC, AC et en déduire que le triangle ABC est
rectangle.
		\item Trouver les coordonnées du centre I du cercle circonscrit au triangle
ABC. Tracer le cercle.
	\end{enumerate}
\item  Trouver une équation de la droite (AC). Soit H le point de coordonnées
(2~;~0). Montrer que H est situé sur la droite (AC).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II}

\medskip

ABC est un triangle quelconque ; on désigne par H le projeté orthogonal de A sur (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les symétriques D et E de H par rapport aux droites (AB) et (AC)
\item Montrer que AE = AH = AD.

En déduire que le cercle de centre A, de rayon AH contient E et D.

Montrer que ce cercle est tangent en H à la droite (BE)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Les questions 2. et 3. sont indépendantes}

\medskip

On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayons $r$ ; [SA] un de ses
diamètres, M un point quelconque de $\mathcal{C}$ autre que les points A et S, B un point
de la demi-droite [SA) tel que: 

$\text{SB} > \text{SA}$.

La droite perpendiculaire en B à la droite (SB) coupe la droite (SM) en
un point qu'on appelle P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquez pourquoi le triangle MSA est rectangle en M.
		\item En vous plaçant successivement dans les triangles MSA et PSB, exprimez $\cos \widehat{\text{MSA}}$ de deux façons différentes et déduisez-en l'égalité :
		
\begin{center}SM $\times$ SP = SA $\times$ SB en la justifiant.\end{center}
	\end{enumerate}
\item Démontrez que le quadrilatère MPBA est inscriptible dans un cercle ~,
dont vous préciserez le centre O$'$.
On suppose désormais : SM $= 3$ ;  SA $= 5$ ;  SB $= 9$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculez les longueurs MA, SP et PB.
(pour le calcul de SP{}, vous utiliserez le résultat de la question 1. b.)
		\item Calculez les aires des triangles SPB et SMA puis déduisez-en l'aire du
quadrilatère MPBA.
		\item On désigne par H le projeté orthogonal de M sur la droite (SA). 
Calculer MH.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{RÉDACTION ET PRÉSENTATION \hfill 4 points}
\end{document}