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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Bordeaux--Maroc}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux--Maroc  juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

Les trois exercices sont indépendants

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les nombres $a, b, c, d$ tels que

\[a = \left(2\sqrt 3 - 1\right)\left(2\sqrt 3 + 1\right)\quad 
b = \dfrac{64 \times 10^3}{ 5 \times 10^{-2}}\quad 
c = \left(\sqrt 5 + 2\right)^2 \quad 
d = \dfrac{1}{\dfrac{7}{10} - \dfrac{9}{13}}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$a$ étant un nombre, soit $E = 16 - (2a + 3)^2$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $E$ et réduire l'expression obtenue.
\item Factoriser $E$.
\item  Résoudre l'équation $(1 - 2a)(7 + 2a) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système

\[\left\{\begin{array}{l c r}
\phantom{67}\alpha + \phantom{67}y		&=& 76\\
67\alpha + 85y 							&=&\np{5920}
\end{array}\right.\]

\item Un particulier achète $76$ plants d'arbres fruitiers constitués de
pommiers à $67$ F le pied et de poiriers à $85$ F le pied; le montant de la facture s'élève à \np{5920}~F{}.

	\begin{enumerate}
		\item Mettre le problème en équations.
		\item Déterminer le nombre d'arbres fruitiers de chaque sorte.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

Les deux exercices  sont indépendants.

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne la figure ci-dessous: il n'est pas demandé de la reproduire. 

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
\item Calculer MN.
\item Le triangle ABC est-il rectangle ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.2,5)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.8)(6.5,0.8)(4.1,3.7)%ABC
\psline(2.9,0.8)(2,2)%MN
\uput[l](0.5,0.8){A} \uput[r](6.5,0.8){B} \uput[ur](4.1,3.7){C}
\uput[ur](2.9,0.8){M} \uput[r](2.,2){N}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.6)(6.5,0.6)\uput[d](3.5,0.6){6}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.3)(2.9,0.3)\uput[d](1.7,0.3){2,4}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.4,1.1)(1.8,2.2)\uput[ul](1.1,1.8){2}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.8,2.2)(4,3.9)\uput[ul](2.9,3.05){3}
\uput[ur](5.3,2.25){3,3}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Il n'est pas demandé de reproduire la figure ci-dessous :

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Le quadrilatère ABCD est un carré de 3 cm de côté, J est le point du segment [AB] tel que AJ $= 1$ cm, 
I et K les points du segment [AD] tels que AI $= 1$ cm, AK $= 2$ cm ; les droites (BK) et (CJ) se coupent en H.

On considère le repère orthonormal (A, I, J) d'origine A, l'axe des abscisses étant porté par la droite (AD), l'axe des ordonnées par la droite (AB) et l'unité est le centimètre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(3.8,3.8)
\psframe(0.2,0.2)(3.2,3.2)
\psline(0.2,3.2)(2.2,0.2)\psline(0.2,1.2)(3.2,3.2)
\psline(1.2,0.3)(1.2,0.1)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[ul](0.2,3.2){B} \uput[ur](3.2,3.2){C} \uput[dr](3.2,0.2){D}
\uput[d](1.2,0.2){I} \uput[l](0.2,1.2){J} \uput[d](1,1.7){H} \uput[d](2.2,0.2){K} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de B, K, J, C.
\item Calculer les coefficients directeurs des droites (BK) et (CJ). En déduire qu'elles sont perpendiculaires.
\item Montrer que le cercle de diamètre [JK] contient A et H.
\item Montrer que les points C, D, K, H sont sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Un club d'informatique propose trois tarifs d'abonnements annuels pour la location de disquettes.

Tarif A : $15$ F pour la location de chaque disquette.

Tarif B : $250$ F d'abonnement annuel plus 10~F pour la location de
chaque disquette.

Tarif C : Un abonnement fixe de $850$~F pour l'année.

On désigne par $\alpha$ le nombre de disquettes louées en un an; on admettra que $0 \leqslant  \alpha \leqslant 100$. 

Soient $f(\alpha)$ le prix payé en francs avec le tarif A ; $g(\alpha)$ celui payé avec le tarif B; $h(\alpha)$ celui payé avec le tarif C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(\alpha) = 15\alpha$

\phantom{Montrer que }$g(\alpha) = 250 + 10\alpha$

\phantom{Montrer que }$h(\alpha) = 850$.
\item Construire sur un même repère les représentations graphiques des
applications $f,\: g\: h$ :

on prendra : 1 cm pour représenter 5 disquettes sur l'axe des abscisses

\phantom{on prendra : } 1 cm pour représenter $100$ francs sur l'axe des ordonnées.

\item Résoudre les équations $f(\alpha) = g(\alpha)$ puis $g(\alpha) = h (\alpha)$
	\begin{enumerate}
		\item par le calcul ;
		\item à l'aide du graphique.
	\end{enumerate}	
\item Pour combien de disquettes louées, le tarif A est-il plus avantageux
que le tarif B ? On répondra à cette question: 
	\begin{enumerate}
		\item en faisant un calcul;
		\item en utilisant le graphique.
	\end{enumerate}	
\item Pour combien de disquettes louées, le tarif C est-il plus avantageux
que le tarif B ? On répondra à cette question : 
	\begin{enumerate}
		\item par le calcul;
		\item en utilisant le graphique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}