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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{juin 1993}}
\rfoot{\small{Bordeaux}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux
 juin 1993}~\decofourright}}

\end{center}

\medskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit l'expression $E = x^2 - 4x + 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $E$ pour:
	\begin{enumerate}
		\item $x = 2\sqrt 3$.
		\item $x = - \dfrac23$.
	\end{enumerate}
\item Factoriser $E$
\item Résoudre l'équation $E = 4$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le chiffre d'affaires de Mac Donald a été en 1990 de $20$ milliards de dollars. Il correspond environ à 10\,\% du budget de la France. 

Calculer le montant du budget de la France en dollars puis en francs : (on donnera l'écriture scientifique des résultats; on prendra $5,44$~F pour valeur du dollar).

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Plusieurs amis veulent offrir un disque à Jean pour son anniversaire. 

Si chacun verse $20$ F{}, il manquera $12$ F.

Si chacun verse $25$ F{}, il y a $18$ F de trop.

Calculer le prix du disque et le nombre des amis de Jean.

\medskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un repère orthonormal (O, I, J), soit le point A de coordonnées $(0~;~- 1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite (AI) a pour équation $y = x - 1$.
\item Construire la droite $(D)$ d'équation $y = - 2x + 5$.
\item Calculer les coordonnées du point F commun à (AI) et $(D)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que, en cm, AB $= 10,2$ ; AC $= 9$ et
BC $= 4,8$ (on indiquera les détails de la construction)
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que ABC est un triangle rectangle.
		\item Soit I le milieu [AB]. Quelle est la longueur de [CI] ? Justifier.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point J tel que $\vect{\text{BI}} = \vect{\text{CJ}}$.
		\item Montrer que AICJ est un losange.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
\textbf{Partie I}

 ABCD est un trapèze rectangle de bases [AB] et [CD] tel que, en cm, AB $= 4$ ; DC $= 8$ et AD~$=~3$.

$\bullet~$Faire un dessin en vraie grandeur et compléter au fur et à mesure.
\end{minipage}\hfill 
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(5,2.4)
\pspolygon(0.3,1.9)(2.3,1.9)(4.3,0.3)(0.3,0.3)%ABCD
\psframe(0.3,1.9)(0.5,1.7)\psframe(0.3,0.3)(0.5,0.5)
\uput[ul](0.3,1.9){A} \uput[ur](2.3,1.9){B} \uput[dr](4.3,0.3){C} \uput[dl](0.3,0.3){D}
\uput[u](1.3,1.9){4} \uput[d](2.3,0.3){8} \uput[l](0.3,1.1){3}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Les diagonales du trapèze se coupent en G.

Montrer que $\dfrac{\text{GA}}{\text{GC}} = \dfrac{\text{GB}}{\text{GD}}  = \dfrac12$.
\item Les demi-droites [DA) et [CB) se coupent en O. 

Montrer que A est le milieu de [OD] et B celui de [OC].
\item Montrer que la droite (OG) coupe le segment [DC] en son milieu.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

Dans l'espace, en tournant autour de la droite (OD), le triangle
ODC rectangle en D engendre un cône de révolution $(\mathcal{C})$. Son sommet
est le point O et sa base le disque $(\mathcal{B})$ de centre D et de rayon DC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire de $(\mathcal{B})$ arrondie au cm$^2$ et le volume de $(\mathcal{C})$ arrondi  au cm$^3$.
\item Le triangle OAB engendre le cône $(\mathcal{C}')$ de sommet O et de base, le disque $(\mathcal{B}')$.

On admet que le plan de $(\mathcal{B}')$ est parallèle à celui de $(\mathcal{B})$.
	\begin{enumerate}
		\item Par quel nombre faut-il multiplier l'aire de $(\mathcal{B})$ pour obtenir l'aire de $(\mathcal{B}')$ ?
		\item Par quel nombre faut-il multiplier le volume de $(\mathcal{C})$ pour obtenir le volume de $(\mathcal{C}')$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-0.7)(2.4,3.5)
\psellipticarc(0,0)(2.25,0.6){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(2.25,0.6){0}{180}
\psellipticarc(0,1.8)(1.03,0.4){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,1.8)(1.03,0.4){0}{180}
\psline(-2.2,0.15)(0,3.3)(2.2,0.15)%?OC
\psline[linestyle=dashed](0,3.3)(0,1.8)(1.05,1.8)
\psline[linestyle=dashed](0,1.8)(0,0)(2.2,0)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(-2.2,0)
\uput[ul](0,0){D}\uput[r](2.2,0){C}\uput[u](0,3.3){O}
\uput[l](0,2.55){3}\uput[l](0,0.9){3}\uput[u](1.1,0){8}\uput[u](0.525,1.8){4}
\uput[l](0,1.8){A}\uput[r](1.05,1.8){B}
\rput(-1,0.25){$(\mathcal{B})$}\rput(-0.75,1.8){$(\mathcal{B}')$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}