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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Bordeaux}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Bordeaux\footnote{Guadeloupe} octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne l'expression algébrique
\[A= (2x - 5)^2 - 9(2x - 5)(x + 2) + 10 - 4x.\]

	\begin{enumerate}
		\item La développer et l'ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$.
		\item La mettre sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
	\end{enumerate}
\item On donne une seconde expression algébrique :
\[B = (4x + 3)^2 - 169.\]

	\begin{enumerate}
		\item La mettre sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
		\item Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $B$ prend-elle la valeur numérique zéro ?
	\end{enumerate}
\item Simplifier la fraction rationnelle $y = \dfrac AB$.

Indiquer la valeur de $x$ qui donne à $y$ la valeur numérique zéro et calculer la valeur numérique de $y$ pour $x = - 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Sur une droite, on marque deux points B et C.

Ces points sont, d'une part, deux sommets d'un triangle ABC dont les angles $\widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{C}}$ sont aigus ; d'autre part deux sommets d'un carré BCDE, le triangle et le carré étant placés de part et d'autre de (BC), les point B et E étant en outre situés d'un même côté de la droite menée par A perpendiculairement sur (BC).

Les droites (AD) et (AE) coupent (BC) respectivement en D$'$ et E$'$.

Les perpendiculaires à BC en D$'$ et E coupent respectivement (AC) et (AB) en C$'$ et B$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer successivement que les couples de triangles

\begin{center}
\begin{tabular}{l c l}
AB$'$E$'$ &et&ABE\\
AE$'$D$'$ &et& AED\\
AD$'$C$'$ &et&AOC,
\end{tabular}
\end{center}
sont formés de triangles semblables.

En déduire la nature du quadrilatère B$'$C$'$D$'$E$'$.
\item On donne un triangle ABC, rectangle en A, dont les côtés sont tels que  AB $= 3$~cm; AC $= 4$~cm; BC $= 5$ cm.

Utiliser les constructions et résultats obtenus à la première question pour construire un carré dont deux sommets sont placés sur [BC], les deux autres sommets étant situés respectivement sur [AB] et [AC].

On évaluera le côté du carré obtenu.
\end{enumerate}
\end{document}