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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Bordeaux septembre 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\sqrt 6$ et $\sqrt 2$. avec deux décimales exactes.

(mettre les opérations sur la copie).
\item Utiliser les valeurs trouvées pour calculer (avec deux  décimales le quotient 
\[\dfrac ab = \dfrac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{\sqrt 6 - \sqrt 2}.\]

\item Montrer par une mise en facteur convenable que
\[\dfrac ab = \dfrac{\sqrt 3 + 1}{\sqrt 3 - 1}.\]

Transformer ce quotient en chassant le radical du
dénominateur et montrer que 
\[\dfrac ab = 2 + \sqrt 3.\]
 (comparer avec le 2.).

\item Résoudre l'équation 
\[\dfrac{x +1}{x - 1} = 2 + \sqrt 3.\]

(garder $\sqrt 3$ dans les calculs ; ne pas utiliser de valeur approchée).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soient un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$, de centre O, et le rayon [OC] perpendiculaire à (AB).

Soit M un point variable de l'arc $\widearc{\text{AC}}$ ; on mène la perpendiculaire (MP) sur le diamètre [AB] et la corde [MN] parallèle à (AB) ; on désigne par I le milieu de [MN].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que dans le triangle PMN la médiane [PI] conserve une longueur constante quand M décrit l'arc $\widearc{\text{AC}}$.
\item Le rayon (OM) coupe le côté [PN] en S. 

Comparer les triangles SMN et SOP.

Calculer le rapport $\dfrac{\text{OS}}{\text{OM}}$.

En déduire le lieu de S quand M varie.
\item Calculer MP{}, MN,  PN en fonction de $R$ et de $x =$ OP{}.
\item Trouver pour quelle valeur de $x$ le triangle MNP est isocèle.
\item Trouver pour quelle valeur de $x$ le rayon [OM] est perpendiculaire au côté [PN].
\end{enumerate}
\end{document}