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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Bordeaux}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Bordeaux \:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)\qquad& y&=& 5x + 15\\
(2)\qquad&y&=&-x +8
\end{array}\right.\]
	\begin{enumerate}
		\item algébriquement ;
		\item graphiquement (en prenant le centimètre pour unité).
	\end{enumerate}
\item Les droites représentatives $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ des équations (1) et (2) forment avec l'axe des $x$, qu'elles coupent respectivement en B et C, un triangle ABC.

Calculer la longueur des hauteurs relatives aux côtés [AB] et [AC].
\item Une droite mobile passant par le point A coupe en M l'axe des $x$, M restant toujours entre B et C.

Exprimer les aires $S_1$ et $S_2$ des triangles BAM et MAC en fonction de l'abscisse $x$ du point M.

Pour quelle valeur de $x$ les aires $S_1$ et $S_2$ sont-elles égales ?

Écrire dans ce cas l'équation de la droite (AM).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Sur un demi-cercle de diamètre [AB] on marque un point C tel que l'arc $\widearc{\text{AC}}$ mesure $30\degres$ et un point D tel que l'arc $\widearc{\text{CD}}$ mesure $60\degres$.

On trace (AC) et (BD), qui se coupent en E, et (AD) et (BC),qui se coupent en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur de l'angle $\widehat{\text{CBE}}$ et de l'angle formé par les droites EM et AB ?
\item Calculer la longueur des segments [DB], [MB], [ME], [AE].
\item La médiatrice de [MB] coupe en F la médiatrice de [AB].

On trace [MF], qu'on prolonge d'une longueur égale FE$'$.

Montrer que les triangles MAE$'$ et MBE$'$ sont rectangles ; en déduire la nature du quadrilatère  AE$'$BE.
\item Soit I le point d'intersection de (EM) et de (AB).

Montrer que FI est la médiatrice de [AM].
\end{enumerate}
\end{document}