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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Bordeaux}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Bordeaux\: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système
\[\left\{\begin{array}{l c r}
\dfrac{2x + 1}{4} - \dfrac{y + 2}{3}& =&3, \\
2(y + 2) &=& 3(2x + 1).
\end{array}\right.\]

\item Soient les fonctions
\begin{center}(1) \qquad $y= \dfrac43 x + \dfrac43$\quad et\quad (2)$ y =- x + 6.$\end{center}

Tracer les droites $D_1$ et $D_2$ représentant respectivement ces deux fonctions.

Lire sur le graphique le coordonnées du point C d'intersection de $D_1$ et $D_2$.

$D_1$ coupe l'axe des $x$ en A et l'axe des $y$ en M ; $D_2$ coupe l'axe des $x$ en B.

Lire sur le graphique les coordonnées de A et de B.

Vérifier par le calcul les coordonnées des points A, B et C.
\item Calculer les distances AC et BC.
\item Déterminer l'équation de la droite (BM).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient deux droites $D_1$ et $D_2$ perpendiculaires en O.

Soit, d'autre part, un point A de $D_1$ tel que OA $= a$.

Un angle droit $\widehat{x\text{A}y}$ tourne autour de A.

A$x$ coupe $D_2$ en B ; A$y$ coupe $D_2$ en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le produit OB $\times$ OC reste constant quand l'angle $\widehat{x\text{A}y}$ tourne autour de A.

Quelle est la valeur de ce produit ?
\item On abaisse de O la perpendiculaire (OE) sur A$x$ (E est sur A$x$) et la perpendiculaire OF sur A$y$ (F est sur A$y$).

Sur quelle ligne se déplacent E et F quand $\widehat{x\text{A}y}$ tourne autour de A ?

Montrer que EF reste constant.
\item Montrer que les triangles AEF et ABC sont semblables.

En déduire une relation métrique qui montre que les points B, C, E et F sont sur un même
cercle.
\item On suppose dans cette question que AB $= \dfrac43 a$.

Calculer dans ce cas les longueurs OB, AE et OE en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}