\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Bordeaux septembre 1958},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Bordeaux}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Bordeaux septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère l'expression algébrique


\[A = \left[\dfrac{x - 1}{x + 2} - \dfrac{x - 3}{x + 2} + 3\right]\left(x^2 - 4\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer le produit et montrer que $A$ peut s'écrire après simplification sous forme d'un polynôme du deuxième degré en $x$.
\item Utiliser le résultat obtenu:
	\begin{enumerate}
		\item pour calculer la valeur numérique de $A$ pour

\[x = -3, \qquad x = 0,01,\qquad  x = - \dfrac{1 + \sqrt 7}{3}.\]

		\item pour déterminer les valeurs qu'il faut donner à $x$ pour que $A$ prenne une valeur numérique $- 16$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Sur une demi-droite O$x$ on prend deux points A et B dont les distances à O sont respectivement OA $= a$,\: OB $= 3a$ \:($a$ étant une longueur donnée).

Un point C décrit le cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon $R = a\sqrt 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que (OC) est perpendiculaire à (OA).

Calculer dans ce cas CA, CB et les angles du triangle COB.

Quelle propriété possède la droite (CA) dans le triangle COB ?
\item C étant quelconque sur le cercle $(\mathcal{C})$, montrer que les triangles OAC et OCB sont semblables.

En déduire que, lorsque C décrit le cercle $(\mathcal{C})$, le rapport $\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}}$ garde une valeur constante, qu'on calculera.
\item Montrer que, lorsque le point C n'est pas aligné avec A et B, le cercle circonscrit au triangle ABC est tangent en C à (OC).
\end{enumerate}
\end{document}