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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Bordeaux}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Bordeaux}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

À 8 heures un cycliste part d'une ville A pour une ville B distante de 80 kilomètres et roule à la vitesse de $20$ kilomètres à l'heure. 

À 8 h 30 min un autocar part de A vers B à la vitesse de $60$~kilomètres à l'heure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À quelle heure et à quelle distance de A l'autocar dépasse-t-il le cycliste ?
\item Représenter graphiquement la marche des deux mobiles et retrouver sur ce graphique les résultats de la question précédente.
\item Au bout de 2 heures de route, le cycliste s'arrête $30$~minutes, puis repart à la même vitesse de $20$~kilomètres à l'heure. L'autocar, arrivé en B, s'arrête
$20$minutes puis revient vers A à la même vitesse qu'à l'aller.

Déterminer graphiquement:
	\begin{enumerate}
		\item l'heure d'arrivée en B de l'autocar;
		\item à quelle heure et à quelle distance de B le cycliste
est croisé par l'autocar?

Retrouver ces résultats en donnant une solution algébrique ou arithmétique (au choix du candidat).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit un segment [AB] de longueur $5$~centimètres.
	\begin{enumerate}
		\item Construire les points C et D qui divisent ce segment
 dans le rapport $\dfrac32$.
		\item O étant le milieu de [CD], calculer AC, AD, AO et vérifier que 
\begin{center}AC $\times$ AD = AB $\times$ AO.\end{center}
\item Une droite passant par A coupe le cercle ($\mathcal{C}$) de diamètre [CD] en M et N.

Montrer que
\begin{center}AM $\times$ AN = AB $\times$ AO.\end{center}

Que peut-on déduire pour les triangles AME et AON ?

Montrer que, lorsque M décrit le cercle ($\mathcal{C}$) le rapport
$\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}}$ reste constant.
	\end{enumerate}
\item Que deviennent les propriétés du 2. lorsque la droite (AMN) est tangente en T au cercle (O)?

Que peut-on dire du triangle ATB ?

Calculer AT.
\end{enumerate}
\end{document}