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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Bordeaux}}
\rfoot{\small{septembre 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Bordeaux\footnote{Antilles} septembre 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression 
\[A(x) = (3x + 1)^2 + (2 - x)(x + 2) + (2x + 1)(3 - 4x).\]
\item On considère l'expression
\[B(x) = ax^2 + bx + 5.\]
Déterminer $a$ et $b$ pour que cette expression s'annule pour $x = - 1$ et pour $x = - 5$.

Dans la suite du problème, $a$ et $b$ seront remplacés par les valeurs trouvées.
\item Calculer et simplifier l'expression
\[\dfrac{B(x)}{A(x)} - \dfrac58.\]
En déduire que l'expression $\dfrac{B(x)}{A(x)}$peut s'écrire sous la  forme $y = \dfrac{x+5}{8}$.
\item Représenter graphiquement cette fonction $y$.

Déduire de ce graphique les valeurs de $x$ pour lesquelles on a $y > 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient deux cercles, (O) et (O$'$), de centres O et O$'$, de
rayons $R$ et $\dfrac R3$, tangents extérieurement en un point A.

Un angle droit $x\text{A}y$ de sommet A pivote autour de A.

Ses côtés recoupent le cercle (O) en M, le cercle (O$'$)
en M$'$.

Soit P le point diamétralement opposé à M sur le cercle (O).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que M$'$, A, P sont alignés et que (OM) et (O$'$M$'$ sont parallèles.
\item La droite (MM$'$) coupe la ligne des centres en un point I.

Évaluer les rapports $\dfrac{\overline{\text{IM}}}{\overline{\text{IM}'}}, \: \dfrac{\overline{\text{IO}}}{\overline{\text{IO}'}}$ et calculer les longueurs IO, IO$'$ en fonction de $R$.
\item La droite (MM$'$) recoupe le cercle (O$'$) en M$''$.

Évaluer en fonction de $R$ le produit $\overline{\text{IM}'} \times  \overline{\text{IM}''}$, puis, en
s'aidant du rapport $\dfrac{\overline{\text{IM}}}{\overline{\text{IM}'}}$ déjà trouvé, calculer le 
produit $\overline{\text{IM}} \times  \overline{\text{IM}''}$.

Vérifier que $\overline{\text{IM}} \times  \overline{\text{IM}''} = \text{IA}^2$.
\end{enumerate}
\end{document}