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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Bordeaux}}
\rfoot{\small{septembre 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Bordeaux septembre 1969}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit $x$ un nombre réel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré les expressions suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (3x - 5)^2 - (2 - x)^2 ;\\
B(x) &=& 4x^2 - 9 + (3 - 2x) (x + 5) - (2x - 3)^2.
\end{array}\]

\item Former l'expression $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ et dire pour quelles valeurs de $x$ elle est définie.

Simplifier $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ dans le cas ou $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ est
définie.
\item Déterminer $x$ pour que cette fraction rationnelle soit égale à 2.
\item Construire dans un système d'axes rectangulaires (on prendra le centimètre pour unité sur chaque axe) les droites représentatives des fonctions suivantes:

\[\left\{\begin{array}{l l c l}
\left(D_1\right)& y&=&4x - 7\\
\left(D_2\right)&y &=& - x + 1.
\end{array}\right.\]

(On précisera les coordonnées des points d'intersection
de ces droites avec les axes.)

Calculer les coordonnées du point d'intersection des
droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ainsi obtenues.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip
Deux cercles, (O) et (O$'$), de centres O et O$'$ et de rayons $R$ et $R'$, sont tangents extérieurement en A.

On leur mène la tangente commune intérieure et une tangente commune extérieure. Soit B et C les points de contact de cette dernière avec les cercles (O) et (O$'$).

Les deux tangentes se coupent en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que MA = MB = MC.

En déduire que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Les prolongements au-delà de A des segments [BA] et [CA] coupent respectivement les cercles (O$'$) et (O) en D et E.

Montrer que [BE] et [CD] sont respectivement de diamètres des cercles (O) et (O$'$).

Quelle est la nature du quadrilatère BCDE ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les angles $\widehat{\text{BEA}}$ et $\widehat{\text{ABC}}$ sont égaux.

(On pourra montrer qu'ils ont le même complément.)
		\item Comparer les triangles BCD et BCE.
		\item En déduire la relation
\begin{center}BC$^2 =$ BE  $\cdot$ CD.\end{center}
	\end{enumerate}
\item L'unité, étant le centimètre, on donne $R = 2$ et $R' =4,5$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la mesure du côté [BC].
		\item En déduire l'aire de la surface du quadrilatère BCDE.
		\item On mène par E la perpendiculaire en H à (CD.
	\end{enumerate}
Déterminer, à 1 millimètre près, la mesure du côté [DE].
\end{enumerate}
\end{document}