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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small septembre 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

Soient $f$ et $g$ deux fonctions polynômes définies par 
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&(3x - 1)^2 - (2 - x)^2 \:\text{et}\\
g(x) &=& (4x - 3)^2 + (8x - 6) (x - 2).
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$, \: $f(x)$ et $g(x)$.
\item Calculer $f\left(\dfrac{1 + \sqrt 2}{1 - \sqrt 1}\right)$
et déterminer l'entier $a$ tel que
\[a \times 10^{-1}  < f\left(\dfrac{1 + \sqrt 2}{1 - \sqrt 1}\right)
< (a + 1) \times 10^{-1},\]
sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$.
\item On considère la fonction rationnelle $h$ définie par $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'ensemble de définition de $h$.
		\item Simplifier $h(x)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ les équations 
	\begin{enumerate}
		\item $h(x) = 1$ ;
		\item $h(x) = \dfrac13$ ;
		\item $h(x) = - 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

\emph{On illustrera le problème par un dessin.\\ L'unité de longueur est le centimètre.}

\medskip

Dans un plan euclidien $P$ muni d'un repère orthonormé \Oij{} on donne les points 
\begin{center}A(0~;~4), \quad B( 3~;~2) \quad et \quad C(4~;~2).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ?
\item Soit D le point du plan tel que les bipoints (A, B) et (C, D) soient équipollents.

Déterminer les coordonnées du point D et préciser la nature du quadruplet (A, B. D, C).
\item Montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle
$\mathcal{C}$ dont on précisera le centre K et le rayon $r$.
\item Soit le point E de coordonnées (8~;~$a$) avec $a$ réel.

Trouver $a$ pour que la droite (AE) soit tangente au cercle $\mathcal{C}$.

Donner alors une équation de la droite (AE).
\end{enumerate}
\end{document}