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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small septembre 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On considère l'application
f de $\R$ dans $\R$ définie par:

\[f(x)=(1 - 3x)\left(- \dfrac23 x - 1\right).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f\left(\dfrac13\right)\:; f\left(\dfrac32\right)\:; f\left(\sqrt 2\right)$.
		\item Donner l'approximation décimale par défaut à $10^{-}2$ près de $f\left(\sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $f(x) = 0$.
\item On considère la fonction rationnelle $g$ définie par


\[g(x) = \dfrac{- 2x^2 + \dfrac{11}{3} x - 1}{\dfrac32\left(\dfrac23 x -1\right)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Trouver l'ensemble de définitions de $g$.
		\item Simplifier l'écriture de $g(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation: $g(x) = - \dfrac{14}{9}$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation: $g(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

On considère les points A, B, C définis par :
\[\vect{\text{OA}} = - 3\vect{\imath}- 3\vect{\jmath} \:;\quad \vect{\text{OB}} = 4\vect{\jmath} \:;\quad \vect{\text{OC}} = 2\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points O, A et C sont alignés.
\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
Calculer les distances $d$(A ,B) ; $d$(A ,C) et $d$(B , C).

Soit le point D tel que : $2\vect{\text{CD}} = 5\vect{\text{BC}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que D est un élément de la droite (BC).
		\item Calculer les coordonnées de D.
		\item Démontrer que les droites (AD) et (OB) sont perpendiculaires.
		\item Que représente O pour le triangle (A, B, 0) ?
	\end{enumerate}
\item Soit E défini par $\vect{\text{OE}} = - \vect{\imath} - 5\vect{\jmath}$.

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, E) ?
\item Soit F le point tel que: $\vect{\text{DF}} = \vect{\text{CA}}$. 

Quelle est la nature du quadruplet (A, C, D, F) ?
\item Démontrer que les points A, E et F sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}