\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Bordeaux septembre 1979},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small septembre 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

Une association désire organiser des excursions pour ses adhérents: elle a le choix entre deux compagnies.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La compagnie A leur propose pour formule: un forfait de $200$~F, à payer quel que soit le nombre de kilomètres du trajet, auquel s'ajoutent $6$~F par kilomètre parcouru.
		
Que devrait payer l'association pour effectuer, dans ces conditions un voyage de $20$~kilomètres; de 65 kilomètres?
		\item La compagnie B leur fait payer 11~F par kilomètre parcouru.
		
Dans ces conditions, que devrait payer l'association pour effectuer un voyage de $20$~kilomètres; de $65$~kilomètres ?
		\item En fonction des résultats trouvés, quelle compagnie choisira l'association pour effectuer un voyage de $20$~kilomètres; de $65$~kilomètres?
	\end{enumerate}
\item On désigne par $x$ le nombre de kilomètres parcourus, par $y$ le prix du voyage.

Déterminer une relation entre $x$ et $y$ :
	\begin{enumerate}
		\item Lorsque l'association fait appel à la compagnie Ai
		\item Lorsque l'association fait appel à la compagnie B;
		\item Pour quel nombre de kilomètres effectués le prix du voyage est-il le même pour les deux compagnies?
	\end{enumerate}
\item Le plan étant rapporté à un repère \Oij{} :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement l'ensemble $E$ des
points $M(x~;~y)$ du plan vérifiant
\begin{center}$y = 200 + 6x$\quad et $x > 0$.\end{center}
		\item Déterminer graphiquement l'ensemble $F$ des points $M(x~;~y)$ du plan vérifiant
\begin{center}$y = 11x$ \quad et $x > 0$.\end{center}
		\item Retrouver graphiquement le résultat du 2. c.
		\item À partir de quel nombre de kilomètres à effectuer l'association choisira-t-elle la compagnie A ?
		
(On pourra choisir $1$~cm pour représenter $10$~unités sur l'axe des abscisses et 1~cm pour représenter $100$~unités sur l'axe des ordonnées.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} on donne les points A, B, C et D par leurs coordonnées
\begin{center}A$\left(\dfrac53~;~\dfrac53\right)$\quad ; \quad B$\left(4~;~\dfrac73\right)$\quad ; \quad C$\left(- \dfrac53~;~\dfrac23 \right)$\quad ; \quad D$\left(- 1~;~- \dfrac53\right)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
\item Calculer les distances $d$(A, B) et $d$(C, D).
\item On désigne par F le point tel que le quadruplet (C, A, F, D) soit un parallélogramme.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $d$(A, F) = $d$(A, B).
		\item Démontrer que le triangle (A, B, F) est rectangle isocèle.
		\item Évaluer le cosinus de l'écart angulaire de
l'angle $\widehat{\text{AFB}}$.

Calculer $d$(B, F).
		\item Calculer $(10,2)^2$ et $(10,3)^3$.

Donner un encadrement de $d$(B, F) du type $\left[a \times 10^{-1}, (a + 1)\times 10^{-1}\right[$. où $a$ est un entier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}