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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Bordeaux}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux septembre 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercices numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par 

\[f(x) = 3x^2 - 2x + 1.\]

Calculer $f(2),\quad f( -3),\quad f\left(\dfrac34\right),\quad f\left(\dfrac15\right),\quad f\left(\sqrt 2\right)$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ et $b$ sont des entiers
naturels, les réels $\sqrt{18}\:; \sqrt{32}\:; \sqrt{50}$ et leur somme.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'application $g$ de $\R$ dans $\R$  définie par 

\[g(x) = (3x - 2)(x - 1) + 2\left(9x^2 - 4\right) - \left(9x^2 - 12x + 4\right).\]

Écrire g(x) sous forme d'un produit de deux facteurs.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre dans $\R$ l'équation

\[(2x +3)(x - 4) = (3x - 2)(x + 6).\]

\bigskip

\textbf{Exercices géométriques}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-2~;~-3)$; B$(-2~;~5)$ et C$(4~;~-3)$.
\item Montrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AB].
\item Déterminer les coordonnées de A$'$, symétrique de A par rapport à M.
\item Calculer les longueurs AB, AC, BC, AM. 

Calculer $\cos \widehat{\text{ABC}}$,\: $\tan \widehat{\text{ABC}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice optionnel}

\medskip

\emph{Le candidat traitera au choix l'une des options (option {\rm A} ou bien option {\rm B} ou bien option {\rm C}) proposées dans cette seconde partie.}

\medskip

\textbf{Option A}

\medskip

Voici les tarifs de location d'un même modèle de voiture proposés par deux sociétés :

\begin{itemize}
\item Société Locoto : un versement de  $400$ F auquel s'ajoutent $1,50$ F par kilomètre parcouru.
\item Société Car: un versement de $200$~F auquel s'ajoutent $2$ F par kilomètre parcouru.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour un parcours de $300$~km :
\begin{itemize}
\item quel est le prix payé auprès de Locoto ?
\item quel est le prix payé auprès de Car ?
\end{itemize}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction du nombre $x$ de kilomètres parcourus, le prix $f(x)$ payé à la société Locoto et le prix $g(x)$ payé à la société Car.
		\item Quelle est la nature des applications $f$ et $g$ ?
		\item Représenter $f$ et $g$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (sur l'axe des abscisses, 2~cm correspondent à $100$~km et sur l'axe des ordonnées, 1~cm correspond à $100$~F).
	\end{enumerate}
\item Comparer les prix à payer selon le nombre de kilomètres parcourus :
	\begin{enumerate}
		\item en utilisant le graphique;
		\item par le calcul.
	\end{enumerate}
\item Dans une troisième société de location on paie $980$~F pour un parcours de $400$~km et $800$~F pour un parcours de $250$~km.

Calculer le versement et le prix à payer par kilomètre parcouru demandés par cette société.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Option B}

\medskip

Un commerçant achète chez un grossiste une marchandise au prix brut HT de \np{1400}~F. Le grossiste lui accorde une remise de $15\,\%$.

Le commerçant évalue ses frais d'achat à $10\,\%$ du prix d'achat net HT, et ses frais de vente à $5\,\%$ du coût d'achat.

Calculer:

\medskip

\begin{enumerate}
\item le prix d'achat net HT, pour ce commerçant;
\item le coût d'achat ;
\item le prix de revient.

Le commerçant revend la marchandise au PVHT de \np{1720}~F{}.

Calculer :
\item le bénéfice réalisé ;
\item la marge brute ;
\item le taux de marque.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Option C}

Sur le dessin suivant  on donne AH $= 1,80$~m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser la nature du triangle AHB.
\item Calculer la mesure de AB.
\item Calculer la mesure de AC.
\item Calculer la mesure de CH.
\item Calculer l'aire du triangle ABC.
\item Soit K la projection orthogonale de C sur la droite (BA).

Calculer la mesure de AK. (Réponses à $0,001$~m.)
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.8,4.2)
\pspolygon(0.2,0.2)(9.6,0.2)(3.6,3.6)
\psline(3.6,3.6)(3.6,0.2)%AH
\psframe(3.6,0.2)(3.8,0.4)
\psarc(0.2,0.2){0.4}{0}{45}
\psarc(9.6,0.2){0.4}{150}{180}
\uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](9.6,0.2){C} \uput[u](3.6,3.6){A} \uput[d](3.6,0.2){H}
\rput(0.95,0.45){$45\degres$}
\rput(8.7,0.45){$30\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}