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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small septembre 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un magazine propose à ses lecteurs une formule pour calculer le « poids idéal » $P$ en kilogrammes d'une personne, en fonction de sa taille $x$ en centimètres :

\[P(x) = (x- 100)- \dfrac{x - 150}{4}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le « poids idéal » d'une personne mesurant $1,65$~m, puis celui d'une personne mesurant $1,75$~m.
\item Développer et réduire $P(x)$.
\item Une personne pèse $90$ kg. Quelle devrait-être sa taille au
centimètre près par défaut ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par :

\[f(x) = \left(3x^2 - 2\right)^2 - 4.\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ : $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Construire un triangle ABC rectangle en A et tel que AB $= 4,5$ et BC $= 7,5$ (l'unité étant le centimètre).

Construire le point D tel que $\vect{\text{BD}} = \vect{\text{AC}}$ et le point E symétrique de D par rapport à C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance AC.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCE ?
		\item Déterminer le centre du cercle circonscrit au triangle BOE ; tracer ce cercle.
	\end{enumerate}	
\item Démontrer l'égalité suivante:

\[\vect{\text{AC}} - \vect{\text{AD}} + \vect{\text{AE}} = \vect{\text{BE}}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OI}}, ~\vect{\text{OJ}}\right)$.

On rappelle la formule de l'aire d'un triangle : $\dfrac{B \times h}{2}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(8,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(8,8)
\multido{\n=0+1}{8}{\psline(\n,0)(\n,-0.15)}
\multido{\n=0+1}{8}{\psline(0,\n,0)(-0.15,\n)}
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,6)(0,6)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,4)(0,4)
\pspolygon(0,0)(4,4)(3,6)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \uput[r](4,4){L} \uput[ur](3,6){M}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelles sont, par simple lecture de la figure, les coordonnées des points M et L ?
\item La droite (ML) coupe la droite (OI) en U.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point U.
		\item Calculer l'aire du triangle MOU, et celle du triangle LOU.
		
En déduire l'aire du triangle MOL.
	\end{enumerate}
\item K est le projeté orthogonal de L sur la droite (OM).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de K.
		\item Calculer les distances OM et LK.
		
Calculer $\dfrac{\text{OM} \times \text{LK}}{2}$. 

Que représente ce nombre ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}