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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Bordeaux}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux septembre 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner le résultats sous la forme de fractions les plus simples possible :

\[A = \left(\dfrac37 - \dfrac{11}{4} \right)  \times \dfrac{21}{5}\:; \quad B = \dfrac{51}{39} : \dfrac {34}{65}
.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression : $E(x) = (2x- 5)^2- (2x - 5)(x + 3)$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $E(x)$.
		\item Factoriser $E(x)$.
	\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Pierre et Alain, deux amis, comparent leurs tirelires respectives. 

Alain remarque que s'il donne $12$ F à Pierre, alors ils disposeront chacun de la même somme.

Par contre, dit Pierre, si c'est moi qui te donne $12$ F{}, tu auras exactement deux fois plus d'argent que moi.

De combien dispose chacun des deux enfants ?

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de diamètre [AB].

H est le milieu du segment [AO].

La perpendiculaire en H au rayon [AO] coupe $\mathcal{C}$ en P et R.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en prenant 4 cm pour rayon du cercle $\mathcal{C}$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère APOR ? du triangle APO ? (Justifier.)
\item En déduire la valeur de l'angle $\widehat{\text{PAO}}$ puis de l'angle $\widehat{\text{PBA}}$.
\item Sachant que le rayon du cercle $\mathcal{C}$ est 4 cm, calculer PR. (Donner une valeur arrondie au mm près.)
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABC est un triangle quelconque. La bissectrice de l'angle
$\widehat{\text{BAC}}$ coupe [BC] en D, et coupe la droite parallèle à (AC) passant par B en E.

 Faire une figure.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\widehat{\text{EAB}} = \widehat{\text{AEB}}$.

En déduire que BA = BE.
\item Démontrer que $\dfrac{\text{DB}}{\text{DC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\emph{Dans ce problème, il y a plusieurs éléments à placer sur le graphique page suivante, les candidats utiliseront des couleurs différentes et donneront une légende.}

\medskip

Trois oiseaux migrateurs, un faucon, un pigeon et une alouette, partent le même jour, du même endroit, suivent la même route rectiligne, à la même altitude, et vont rejoindre le même lieu. La distance entre le point de départ et le point d'arrivée est de $450$~km.

On note $t$ la durée, exprimée en heures, à partir de 8 heures. On note respectivement $f(t),\: p(t)$ et $a(t)$ les distances, exprimées en kilomètres, en fonction de $t$, parcourues par le faucon, le pigeon et l'alouette.

\textbf{PREMIÈRE PARTIE}

\medskip

Le graphique ci-après donne la distance $a(t)$ parcourue par l'alouette
en fonction de la durée.

\begin{center}
\psset{yunit=0.02cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-40)(8.5,460)
\multido{\n=0.00+0.25}{35}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,460)}
\multido{\n=0+10}{47}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(8.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(8.5,460)
\psline[linewidth=1.25pt](0.5,0)(2.5,200)(3.5,200)(5,300)(6,300)(8,450)
\uput[u](7,0){Durée en heure}\uput[d](0,-23){(8 h)}\uput[d](1,-23){(9 h)}
\uput[r](0,450){Distances en kilomètre}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Commenter le graphique en répondant aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item À quelle heure part l'alouette ?
		\item À quelle heure arrive-t-elle ?
	\end{enumerate}	
\item Quelle est la durée totale du trajet de l'alouette ? Calculer sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et B de coordonnées respectives (0,5~;~0) et (8~;~450) sur le graphique, puis tracer la droite (AB).
		\item Déterminer l'équation de la droite (AB).
Comment peut-on interpréter le coefficient directeur de cette droite ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{DEUXIÈME PARTIE}

\medskip

Le faucon part à 8 heures, vole à la vitesse de $70$ km/h ; le pigeon part une heure plus tard et vole à la vitesse de $90$ km/h. 

Les deux oiseaux font le trajet sans s'arrêter. On ne demande pas de déterminer l'heure d'arrivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $f(t)$ en fonction de $t$ pour $t \geqslant 0$.

Montrer que pour $t \geqslant 1$, on a $p(t) = 90(t - 1)$.

Sur le même graphique que précédemment, tracer la représentation graphique de la distance $f(t)$ parcourue par le faucon  et celle de la distance $p(t)$ parcourue par le pigeon.

À la lecture de ce graphique, peut-on dire que le pigeon rattrape le faucon ?

Justifier brièvement la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul la valeur de $t$ pour laquelle $f(t) = p(t)$.
		\item En déduire l'heure à laquelle le pigeon rattrape le faucon (donner le résultat en heure-minutes) et la distance parcourue par chacun des oiseaux à cet instant.
	\end{enumerate}		
\item On admet que le pigeon dépasse le faucon pour $t = 4,5$.

Montrer que pour $t \geqslant 4,5$, la distance qui sépare les deux oiseaux est $20t - 90$.

Le pigeon n'est pas en sécurité par rapport au faucon s'il se trouve devant lui, et à moins de $5$ km de celui-ci.

Déterminer les heures entre lesquelles le pigeon n'est pas en sécurité.
\end{enumerate}
\end{document}