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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Bordeaux juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne par rapport à deux axes rectangulaires les deux points A(3~;~1) et B(1~;~3).

\begin{enumerate}
\item Écrire l'équation de la droite (OA).

Écrire l'équation de la droite (OB).

Comment sont placées ces droites par rapport à la bissectrice de l'angle $\widehat{x\text{O}y}$ ?
\item  Écrire-l'équation de la droite (AB).

Que remarque-t-on sur l'angle de AB avec la bissectrice de $\widehat{x\text{O}y}$ ?
\item  La droite (AB) recoupe O$x$ et O$y$ en C et D.

Montrer, en calculant les coordonnées du milieu de [AB] et celles du milieu de [CD], que les segments [AB] et [CD] ont même milieu.
\item  On achève le parallélogramme AOBM.

Trouver les coordonnées du point M.

Écrire l'équation de (AM) et celle de (BM).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On donne un cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon $R$.

Soient [AB] un diamètre fixe de ce cercle, [AC] une corde quelconque.

On trace les tangentes en C et B à ce cercle $\mathcal{C}$ et l'on désigne par P leur point de rencontre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (AC) et (OP) sont parallèles.
\item Dans le cas où AC $= R$, calculer en fonction de $R$ les longueurs CP et OP ainsi que l'aire du quadrilatère OBPC et celle du triangle curviligne CPB extérieur au cercle.
\item On prolonge la corde [AC], supposée quelconque, d'une longueur CD égale à elle-même.

Sur quelle courbe se déplace le point D lorsque le point C décrit le cercle $\mathcal{C}$ ?

Préciser le point de concours, E, des médianes du triangle AOD et trouver sur quelle courbe se déplace ce point E lorsque C décrit le cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}