\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Bordeaux juin 1997},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1997}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small juin 1997}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux juin  1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Exprimer chacun des nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ sous forme d'une
fraction irréductible en faisant apparaître les étapes du calcul :

\[
a =\frac34 - \frac14\div\frac52\quad b =\frac{13\times10^{14}\times10^6}{2\times\left(10^3\right)^7}
\quad
c = \sqrt{\dfrac{49}{100}}+\frac{\left(\sqrt 3\right)^2}{10}\quad
d=\frac1{20}\left(\sqrt{14}-1\right)\left(\sqrt{14}+1\right)
\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les expressions suivantes :

\[E =(x + 7)^2 - 36 \qquad F = 4x^2 + 8x + 4 \qquad  G = (x + 13)(x + 1) - 4(x + 1)^2\]

\item Dans cette question, $x$ désigne un nombre positif. Après avoir
observé la figure ci-après :
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de l'aire $\cal A$ de la partie non
hachurée dans le carré ABCD.
		\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire $\cal A$ est-elle égale à
quatre fois l'aire du carré AEFG ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(8.5,8.5)
%\psgrid
\psframe(0.7,0.3)(7.8,7.4)
\psframe(0.7,4.3)(3.9,7.4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.9,3.5)(7.8,7.4)
\uput[ul](0.7,7.4){A} \uput[ur](7.8,7.4){B} \uput[dr](7.8,0.3){C}
\uput[dl](0.7,0.3){D} \uput[ur](3.9,7.4){E} \uput[ul](3.9,4.3){F} \uput[ur](0.7,4.3){G}
\psframe(0.7,4.3)(0.9,4.5)\psframe(3.9,4.3)(3.7,4.5)
\psframe(7.8,0.3)(7.6,0.5)\psframe(0.7,0.3)(0.9,0.5)
\psframe(7.8,7.4)(7.6,7.2)\psframe(0.7,7.4)(0.9,7.2)\psframe(3.9,7.4)(3.7,7.2)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(8,7.4)(8,3.5)\uput[r](8,5.45){6}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.4,4.3)(0.4,0.3)\uput[l](0.4,2.3){6}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.4,4.3)(0.4,4.9)\uput[l](0.4,4.6){1}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.4,7.4)(0.4,4.9)\uput[l](0.4,6.35){$x$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.7,7.8)(3.3,7.8)\uput[u](2,7.8){$x$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3.3,7.8)(3.9,7.8)\uput[u](3.6,7.8){1}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3.9,7.8)(7.8,7.8)\uput[u](5.85,7.8){6}
\psline[linewidth=0.4pt](0.4,4.9)(0.7,4.9)
\psline[linewidth=0.4pt](3.3,7.4)(3.3,7.8)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Voici la liste des notes sur 20 obtenues par Luc et Julie aux 6
devoirs de mathématiques du dernier trimestre :

\[\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\textbf{Devoir}&\no 1&\no 2&\no 3&\no 4&\no 5&\no 6&Moyenne\\ \hline
\textbf{Note de Luc}&12&5&18&11&19&$a$&\\ \hline
\textbf{Note de Julie}&20&15&4&9&$x$&$y$&12,5\\ \hline

\end{tabular}\]
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la moyenne de Luc, si la note obtenue au sixième devoir
est 13.
		\item Une meilleure note au devoir \no 6 aurait-elle permis à Luc
d'obtenir une moyenne de 15 ?
	\end{enumerate}
\item La note obtenue par Julie au devoir \no 6 a augmenté de 25\,\% par
rapport à celle qu'elle a obtenue au devoir \no 5.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $y$ en fonction de $x$.
		\item Calculer $x$ et $y$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O,\,I,\,J). L'unité de
longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(3~;~5) ; B$(-1~;~2)$ ; C(1~;~1).

Calculer les coordonnées du point K, milieu du segment [AB].
\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item Construire le point E, image du point B par la translation
de vecteur $\vect{\text{CA}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère CAEB ?
		\item Calculer les coordonnées du point E.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (AB).
		\item La droite (AB) coupe l'axe des abscisses en H ; quelle est
la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{\text{KHI}}$?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère un cercle de diamètre [AB]. Soit C un point de ce
cercle et D le symétrique de A par rapport au point C. 

La parallèle à la droite (BC) passant par le point D coupe la droite
(AB) en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réaliser une figure.
\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item Démontrer que $B$ est le milieu du segment [AE].
\item Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle ADE ?
\item Exprimer l'aire ${\cal A}'$ du disque de diamètre [AE] en
fonction de l'aire $\cal A$ du disque de diamètre [AB].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

{\em L'unité de longueur est le mètre.}

\textbf{Partie A} 

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Soit un triangle ABC rectangle en A
tel que AB $= 4$ et AC $= 5$.

Soit M un point du segment [AC]. On pose AM $= x$.

La parallèle à la droite (AB) passant par M coupe le segment [BC] en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Entre quelles valeurs peut varier $x$?
\par Quelle est, en fonction de $x$, la longueur CM?
\item Démontrer que MN $= 4 - 0,8x$.
\end{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $x$, l'aire ${\cal A}(x)$ du trapèze
ABNM.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(4.8,5.3)
%\psgrid
\pspolygon(0.9,0.5)(4.8,0.5)(0.9,5.2)%ABC
\uput[dl](0.9,0.5){A} \uput[dr](4.8,0.5){B} \uput[u](0.9,5.2){C}
\uput[ul](0.9,2.3){M}\uput[ur](3.3,2.3){N}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.9,0.5)(4.8,0.5)(3.3,2.3)(0.9,2.3)
\rput(2.5,1.4){$\mathcal{A}(x)$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.9,0.3)(4.8,0.3)\uput[d](2.85,0.3){4}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.7,0.5)(0.7,2.3)\uput[l](0.7,1.4){$x$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.3,0.3)(0.3,5.2)\uput[l](0.3,2.75){$5$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(6.5,5.3)
%\psgrid
\psline(3.2,0.4)(6.1,1.7)(3.7,4.9)(0.8,3.6)%BEFC
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.8,0.4)(3.2,0.4)(6.1,1.7)(5.15,2.95)(3.7,2.95)
(0.8,1.7)%ABEPQM
\psline(0.8,1.7)(2.25,1.7)(5.15,2.95)%MNP
\pspolygon(0.8,0.4)(3.2,0.4)(0.8,3.6)%ABC
\psline[linestyle=dashed](0.8,0.4)(3.7,1.7)(6.1,1.7)%ADE
\psline[linestyle=dashed](3.7,1.7)(3.7,4.9)%DF
\psframe(0.8,0.4)(1,0.6)
\uput[dl](0.8,0.4){A} \uput[dr](3.2,0.4){B} \uput[ul](0.8,3.6){C} 
\uput[ul](3.7,1.7){D} \uput[r](6.1,1.7){E} \uput[ur](3.7,4.9){F} 
\uput[ul](0.8,1.7){M} \uput[u](2.25,1.7){N}
 \uput[ur](5.15,2.95){P} \uput[ul](3.7,2.95){Q}
 \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.6,0.4)(0.6,1.7)\uput[l](0.6,1.05){$x$}
 \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.2,0.4)(0.2,3.6)\uput[l](0.2,2){$5$}
 \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.8,0.2)(3.2,0.2)\uput[d](2,0.2){$4$}
 \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3.3,0.3)(6.2,1.54)\uput[dr](4.7,0.9){$10$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Le schéma ci-dessus représente une citerne posée sur un sol
horizontal. Elle a la forme d'un prisme droit ABCDEF :

\begin{itemize}
\item sa base ABC est le triangle décrit dans la première partie;
\item BE $= 10$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Quel est, en mètres cubes, le volume de la citerne ?
\item La citerne contient de l'eau jusqu'au niveau du plan MNPQ,
comme l'indique le schéma.\par $x$ désignant la longueur AM,
démontrer que le volume ${\cal V}(x)$ est égal à $4x(10-x)$.
\item Calculer le volume d'eau contenue dans la citerne lorsqu'elle
est remplie à mi-hauteur.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$						&1	&1,4	&1,5	&1,6	&2\\\hline
${\cal V}(x) = 4x(10 - x)$&	&		&		&		&\\\hline
\end{tabularx}\]
		\item En déduire un encadrement à $0,1$ près de la hauteur d'eau lorsque
la citerne est remplie à la moitié de sa capacité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}