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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small L'année 1999}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small juin 1999}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Bordeaux juin 1999 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Quatre enfants découpent un pain d'épice préparé pour leur
goûter. Alice en prend le tiers; Benoît prend les $\dfrac{3}{5}$ de ce
qu'a laissé Alice; enfin Cécile et Clément, qui sont jumeaux, se
partagent de manière égale le reste.\par Choisir parmi les trois
calculs suivants celui qui permet d'obtenir la fraction du pain
d'épice reçue par chacun des jumeaux, et effectuer ce calcul.

\[\left(1-\frac13-\frac35\right)\div2\kern1cm
\left(\frac23-\frac35\times\frac23\right)\times2
\kern1cm\left(1-\frac13-\frac35\times\frac23\right)
\times\frac12.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les expressions : $E = (3x - 12)(3x + 2), \qquad F = (3x - 5)^2 - 49.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $E = 0$.
\item Développer et réduire $E$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $F$.
		\item Donner, sans calcul, la valeur de $F$ pour $x = -
\dfrac{2}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Il a été demandé aux familles de deux villages voisins $S$ et $T$ de
répondre à la question suivante :\og{}\^Etes-vous favorable à
l'aménagement d'une piste cyclable entre les deux villages ?\fg{}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans le village $S$, 60\,\% des 135 familles consultées ont
répondu \og oui\fg.\par Combien de familles, dans ce village, sont
favorables à ce projet ?
		\item Dans le village $T$, il y a $182$ réponses favorables sur les
416 familles consultées.\par Quel est le pourcentage de \og oui\fg{}
pour le village $T$ ?
	\end{enumerate}
\item La décision d'aménager la piste cyclable ne peut être prise
qu'avec l'accord de la majorité des familles de l'ensemble des deux
villages. La piste cyclable sera-t-elle réalisée ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O, I, J) ; l'unité graphique est le centimètre.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points P(4~;~0) ; Q(0~;~8) et M(2~;~4).
		\item Vérifier que M est le milieu du segment [PQ].
	\end{enumerate}
\item (C) désigne le cercle circonscrit au triangle OPQ.

Quel est le centre du cercle (C) ? 

Tracer le cercle (C). Calculer son rayon.
\item Soit $(\Delta)$ la droite passant par Q et perpendiculaire à la droite (OM).
K désigne le point d'intersection des droites (OM) et $(\Delta)$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la droite (OM).
		\item Déterminer l'équation de la droite $(\Delta)$ sachant que son coefficient directeur est égal à $- \dfrac{1}{2}$.
		\item Calculer les coordonnées du point K.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le solide représenté ci-dessous est constitué de deux parties :

\medskip

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]la partie supérieure est une pyramide régulière SABCD, de sommet S, de base carrée ABCD et de hauteur [SO] ;
\item[$\bullet~~$]la partie inférieure est un pavé droit ABCDEFGH ;
\item[$\bullet~~$]dimensions en centimètres : 

\[\text{AB} = 30 \quad ; \quad \text{AE} =10 \quad ; \quad  \text{SQ} = 30\]
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la partie inférieure du solide. 
\item Calculer le volume total du solide.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de AD.
		\item En déduire la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{\text{SAO}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,8)
%\psgrid
\psframe(5,1.7)%ABFE
\psline(0,1.7)(3.25,7.3)(5,1.7)(6.5,3.2)(3.25,7.3)%ASECS
\psline(5,0)(6.5,1.5)(6.5,3.2)%FGC
\psline[linestyle=dashed](3.25,7.3)(1.5,3.2)(0,1.7)%SDA
\psframe[linestyle=dashed](1.5,1.5)(6.5,3.2)%DCGH
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.5,1.5)
\uput[ul](0,1.7){A} \uput[ul](5,1.7){B} \uput[r](6.5,3.2){C} \uput[ul](1.5,3.2){D} \uput[dl](0,0){E}
\uput[dr](5,0){F} \uput[r](6.5,1.5){G} \uput[dr](1.5,1.7){H} \uput[d](3.25,2.45){O} \uput[u](3.25,7.3){S}
\psdots(3.25,2.45)
\end{pspicture}
\end{center}
%@metapost:bordeaux1999.mp
%@Titre: Bordeaux -- 1999

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

{\em L'unité de longueur est le centimètre.}

\emph{Données }: 

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(14,5.2)
%\psgrid
%\psarc(5,0){5}{0}{180}\psarc(0,0){5}{50}{80}%\psarc(10,0){2.5}{110}{160}
\pspolygon(0,0)(2.5,4.35)(10,0)%BAC
\psline(2.5,4.35)(2.5,0)\psframe(2.5,0)(2.75,0.25)%AH
\psline(-0.5,2.175)(14,2.175)%IJ
\psline(0,0)(7.82,1.23)(15.64,2.46)
\psline(10,0)(13.9,2.175)
\uput[u](2.5,4.35){A} \uput[ul](0,0){B} \uput[d](10,0){C} \uput[d](7.82,1.23){D}
\uput[u](13.9,2.175){E} \uput[d](2.5,0){H} \uput[ul](1.25,2.175){I} \uput[ur](6.25,2.175){J}
\end{pspicture*}
\end{center}

Le triangle ABC est tel que AB $ = 6$, AC $ = 8$ et
BC $ = 10$; I est le milieu du segment [AB] et J le milieu du
segment [AC] ; H est le pied de la hauteur issue de A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Exprimer de deux façons l'aire du triangle ABC, et en déduire
$AH$.
\end{enumerate}
\item Démontrer que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, et
que IJ $ = 5$.
\item Soit D le point du segment [CJ] tel que CD $ = 2,5$ et E le
point d'intersection des droites (IJ) et (BD).
\begin{enumerate}
\item Calculer DJ, puis EJ.
\item Les droites (CE) et (AI) sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle BCD.
\item En déduire l'aire du triangle EJD.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%

\end{document}