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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small septembre 1996}
\lfoot{\small Bordeaux}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Bordeaux septembre 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous la forme d'une fraction la plus simple possible chacun des nombres:

\begin{center} $A = \dfrac{14}{3} + \dfrac{13}{6}$ \qquad et \qquad $B = \sqrt{\dfrac{35}{4} \times \dfrac{7}{45}}$\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit l'expression $C = (4x + 5)(2x - 1) - (x + 3)^2$. 
		
Développer et réduire $C$.
		\item Calculer la valeur de l'expression $D = 7x^2 - 14$ pour chacune des valeurs suivantes de $x$ :  $x = - 3\quad  ;\quad  x = \sqrt 2$.
	\end{enumerate}	
\item  Soit l'expression $E = (2x + 3)^2 - 16$.

Factoriser $E$.
\item  Donner la liste des nombres entiers relatifs qui sont solutions du système:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x - 5 &\leqslant& x + 3\\
4 &<& 14 + 5x
\end{array}\right.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer dans le plan ci-dessous rapporté à un repère orthonormal (O, I, J) la droite $(\Delta)$ d'équation $y = - 2x + 3$.
\item On donne les équations de droites suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
$\left(D_1\right)\quad y = 2x - 3$&$\left(D_2\right)\quad y = -2x - 1$& $\left(D_3\right)\quad y = 0,5x - 2$\\
$\left(D_4\right)\quad y = - 0,5x - 2$& $\left(D_5\right)\quad y = - 3x + 2$&$\left(D_6\right)\quad y = 3x - 2$\\
\end{tabularx}
\end{center}

Parmi ces droites quelle est celle qui est parallèle à $(\Delta)$ ?

Parmi ces droites quelle est celle qui est perpendiculaire à $(\Delta)$ ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=5mm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-10,-6)(9,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-10,-6)(9,8)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J}
\end{pspicture}
\end{center}



\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(9.5,3)
%\psgrid
\psline(9.3,2.4)(0.2,2.4)(8,0)
\psline(2.4,2.4)(1.68,1.92)\uput[u](2.4,2.4){A} \uput[dl](1.68,1.92){E}
\psline(4.2,2.4)(2.9,1.58)\uput[u](4.2,2.4){F}\uput[dl](2.9,1.58){B}
\psline(7.3,2.3)(7.3,2.5)\uput[u](7.3,2.4){J}
\uput[dr](3.35,1.42){I}\psline(3.4,1.5)(3.3,1.4)
\uput[l](0.2,2.4){O}
\end{pspicture}
\end{center}

On ne demande pas de reproduire la figure ci-dessus. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les droites (AE) et (BF) sont parallèles et on a : OE $= 4$, OF $= 9$.

Sachant que OA = OB, calculer OA. Justifier la réponse.
\item Les points O, E, I sont alignés dans cet ordre et OI $= 6,4$.

De même O, F, J sont alignés dans cet ordre et OJ $= 14,4$.

La droite (IJ) est-elle parallèle à la droite (EF) ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Sur le schéma ci-dessous, le plan est pavé par des triangles équilatéraux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les figures 1, 2, 3 deux figures sont symétriques par rapport à une droite (D). Lesquelles ? 

Tracer la droite (D).

\item  Construire la figure 4, image de la figure 3 par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture*}(11,10)
%\psgrid(10,8)
\psframe(11,10)
\def\motif{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=blue]
(0,1.73205)(-0.5,0.866025)(0,0)(2,0)(2.5,0.866025)(0.5,0.866025)}
\rput(3,5.2){\motif}\rput(4,5.5){1}
\def\motif2{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=blue]
(0.5,1.73205)(1,2.59808)(2,2.59808)(3,0.866025)(2.5,0)(1.5,1.73205)}
%
\rput{120}(9.76,3.9){\motif2}\rput(7,4.5){3}
\rput{0}(0.02,0.86){\motif2}\rput(2,2.5){2}
\multido{\n=-17.32050+1.73205}{20}{\psplot[plotpoints=500,linewidth=0.5pt]{0}{12}{1.73205 x mul \n \space add}}
\multido{\n=34.64100+-1.73205}{25}{\psplot[plotpoints=500,linewidth=0.5pt]{0}{12}{\n \space 1.73205 x mul sub}}
\multido{\n=0.000000+0.866025}{12}{\psline(0,\n)(11,\n)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{->}(0.5,6.05)(2.5,7.826)
\uput[dr](0.5,6.05){\red A}\uput[dr](2.5,7.826){\red B}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Questions enchaînées }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle isocèle SAB tel que SA = SB = 6,5 cm et AB= 5cm.

Dans le triangle SAB, on appelle I le pied de la hauteur issue de S.

Placer sur la droite (SI) et à l'extérieur du triangle SAB le point D tel que ID $= 3$ cm.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la distance AI ? Justifier la réponse.
		\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ISA}}$ à 1 degré près. Justifier la réponse.
		\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{IAD}}$ à 1 degré près. Justifier la réponse.
		\item Calculer la distance SI. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Expliquer pourquoi on a : BD = AD.
\item La parallèle à la droite (AB) passant par D coupe la droite (SA) en A$'$
et la droite (SB)en B$'$.

La placer sur la figure.

Calculer le rapport $\dfrac{\text{DA}'}{\text{IA}}$. Justifier la réponse.
\item On fait tourner les triangles SAB et SA$'$B$'$ autour de la droite (SI). On obtient deux cônes représentés dans le dessin ci-contre (les points n'ont pas été portés).

On appelle C le cône de sommet S et de base le disque de diamètre [AB] , et C$'$ le cône de sommet S et de base le disque de diamètre
[A$'$B$'$].
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume $V$, exprimé
en cm$^3$ du cône C.

Donner la valeur exacte du volume de C en gardant $\pi$, puis en donner une valeur arrondie en cm$^3$.
		\item Le cône C$'$ est un agrandissement du cône C. On note $V'$ le volume, exprimé en cm$^3$ du cône C$'$.
		
Exprimer le volume $V'$ du cône C$'$ en fonction du volume $V$ du cône C.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-5,-1.8)(5,13.8)
%\psgrid(10,8)
\psellipticarc(0,0)(4.7,1.8){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(4.7,1.8){0}{180}
\psellipticarc(0,5.2)(2.95,1.2){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,5.2)(2.95,1.2){0}{180}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,13.8)
\psline[linestyle=dashed](-4.7,0)(4.7,0)
\psline[linestyle=dashed](-3,5.2)(3,5.2)
\psline(-4.7,0.1)(0,13.8)(4.7,0.1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}