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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Burkina Faso}
\lfoot{\small septembre 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Burkina Faso septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Ranger du plus petit au plus grand, les nombres réels
suivants:

\[0,79\:;\qquad  10^{-2}\:; \qquad  - \dfrac35\:; \qquad \dfrac45\:;\qquad  - 0,63\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Les nombres $\dfrac25$ et $-2$ sont-ils des solutions de l'équation

\[5x^2 - 12x + 4 = 0 \:?\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$f$ est une application de $\R$ dans $\R$ définie par :

\[f(x) = x(x +2)^2 - (3x - 1)(2x + 5) + 5(3 - 2x).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item Calculer $f\left(\sqrt 2\right)$.
\item Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$ donner un encadrement

de $16 - 17\sqrt 2$ à $10^{- 1}$ près.
\item Une représentation graphique de l'application $f$ a été dessinée  ci-dessous ; on l'appelle $(\mathcal{C})$.

Lire sur ce graphique les abscisses des points d'intersection de $(\mathcal{C})$ avec l'axe $(x'x)$.
\item Dans ce même repère, dessiner la représentation graphique de l'application 

$g \::\: x \longmapsto  5x + 20$ définie dans $\R$.
\item Dessiner sur le graphique les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = g(x)$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=6mm,yunit=0.6mm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-8,-30.1)(10,90.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=100]{->}(0,0)(-8,-30)(10,90)
\multido{\n=-8+1}{19}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-30)(\n,90)}
\multido{\n=-30+10}{13}{\psline[linewidth=0.1pt](-8,\n)(10,\n)}
\uput[d](9.5,0){$x$} \uput[d](-7.5,0){$x'$}\uput[r](0,87){$y$}
\uput[dl](1,0){1} \uput[l](0,10){10}\uput[dl](0,0){O}\uput[r](6.5,80){\red $(\mathcal{C})$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{7}{x 3 exp x dup mul 2 mul sub 19 x mul sub 20 add}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit AMB un triangle rectangle en M. 

L'unité étant le centimètre on suppose que l'on a : AB $= 6$ ; MB $= 3$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AM.
\item Calculer $\sin \widehat{\text{MAB}}$ ; en déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{MAB}}$.
\item Soit C le symétrique du point B dans la symétrie orthogonale d'axe (AM).

Quelle est la nature du triangle ABC ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Une boîte en carton ayant la forme d'un parallélépipède rectangle est dessinée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.3,4.8)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(6.7,2.4)%HGCD
\psline(6.7,0.2)(8,1.7)(8,3.9)(6.7,2.4)%GFBC
\psline(8,3.9)(1.5,3.9)(0.2,2.4)%BAD
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.5,1.7)(8,1.7)%HEF
\psline[linestyle=dashed](1.5,1.7)(1.5,3.9)(6.7,2.4)%EAC
\pspolygon[fillstyle=hlines](3.5,3.9)(7.1,2.9)(7.4,3.2)(4.45,3.9)%IKLJ
\uput[ul](1.5,3.9){A} \uput[ur](8,3.9){B} \uput[dr](6.7,2.4){C} \uput[l](0.2,2.4){D}
\uput[l](1.5,1.8){E} \uput[r](8,1.7){F} \uput[dr](6.7,0.2){G} \uput[dl](0.2,0.2){H}
\uput[u](3.5,3.9){I} \uput[u](4.45,3.9){J} \uput[dr](7.1,2.9){K} \uput[dr](7.4,3.2){L}
\end{pspicture}
\end{center}

Ses dimensions sont, en centimètres : AB $= 5$ ;\: BF $= 2$ ;\: BC $= 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un patron de cette boîte a été dessiné ci-dessous.

Quelques sommets ont déjà été représentés sur ce patron. Représenter les autres.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.7,5.1)
%\psgrid
\psframe(0.2,1.2)(4.3,2.6)
\psframe(1.1,0.2)(3.4,4.8)
\psline(1.1,3.4)(3.4,3.4)
\uput[l](1.1,3.4){A} \uput[r](3.4,4.8){C} \uput[l](1.1,4.8){D} \uput[ur](3.4,2.6){F}
\uput[l](0.2,1.2){D} \uput[r](3.4,0.2){C} \uput[r](4.3,1.1){C} \uput[r](4.4,2.6){\ldots}
\uput[r](3.4,3.4){\ldots} \uput[l](0.2,2.6){\ldots} \uput[ul](1.2,2.6){\ldots} \uput[l](1.1,0.2){\ldots}
\uput[dl](1.1,1.2){\ldots} \uput[dr](3.4,1.2){\ldots}
\end{pspicture}
\end{center}

\item On décide de décorer la face ABCD de cette boîte avec une bande parallèle à (AC). On a, en centimètres,
AI $= 1,5$ et IJ $= 1$.

Calculer CK et KL.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij,
placer les points 

\begin{center}A$\left(\dfrac52~;~\dfrac32\right)$\:;\qquad  B$(2~;~-2)$ \:;\qquad C$(- 1~;~2)$.\end{center}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ et montrer que ces vecteurs sont orthogonaux.
\item Calculer les coordonnées du point D tel que $\vect{\text{AB}}= \vect{\text{CD}}$. 

Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifier.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points A, B, C, D appartiennent à un même cercle.
		\item Où se trouve le centre K de ce cercle ? Justifier.
		\item Calculer les coordonnées de K.
		\item Calculer le rayon de ce cercle.
	\end{enumerate}
\item Construire ce cercle. Il coupe l'axe des abscisses en deux points E et F.
Calculer leurs coordonnées.
\end{enumerate}
\end{document}