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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Burundi}
\lfoot{\small juin 1986}
\pagestyle{fancy}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Burundi\footnote{Cameroun, Mauritanie, Togo, République centrafricaine, Zaïre.)
} juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer, en faisant apparaître les différentes étapes des calculs :

$(-8,25) - (- 4,075).$\smallskip

$\dfrac{13}{81} \times \dfrac{162}{39}$.\smallskip

$\dfrac{3 - \dfrac23}{1 + \dfrac16}$.\smallskip

$\left(5 - 3\sqrt{12}\right)\left(5 + 3\sqrt{12}\right)$.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre dans $\R$ l'équation :

\[5x(2x -7)(- x - 5) = 0.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre graphiquement, sur le même dessin, les deux systèmes suivants :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + 2y - 4 &=& 0 \\
x- \phantom{2}y + 1 &=& 0
\end{array}\right.\]

(Vérifier le résultat pour ce système). 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + 2y - 4 &\leqslant& 0 \\
x - \phantom{2}y + 1 &\geqslant& 0
\end{array}\right.\]

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

(P, Q, R, S) est le trapèze représenté par le dessin suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.7,3.2)
\pspolygon(0.2,0.2)(4.2,0.2)(2.2,2.7)(0.2,2.7)%SRQP
\psline(2.2,2.7)(2.2,0.2)%QH
\psframe(2.2,0.2)(2.4,0.4)
\uput[d](2.2,0.2){H} \uput[ul](0.2,2.7){P} \uput[ur](2.2,2.7){Q} \uput[dr](4.2,0.2){R} \uput[dl](0.2,0.2){S}
\end{pspicture}
\end{center}

On donne: PQ $= 3$ cm; PS $= 4$ cm; SR $= 6$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le périmètre de ce trapèze.
\item Calculer l'aire de ce trapèze.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{QRS}}$ à $1\degres$ 
près par défaut.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

L'unité est le centimètre.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-2~;~2)$, \quad  B(2~;~6), \quad C$(4~;~-2)$.
\item Calculer les coordonnées du milieu I du segment [AC].
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que (A, B, C, D) soit un parallélogramme.
\item Trouver une équation cartésienne de la droite (BC).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Le dessin sera réalisé avec le plus grand soin. 

L'unité est le centimètre.

\medskip

Construire un segment [AB], de milieu O et de longueur $12$~cm.

Placer sur ce segment le point C tel que AC $= 8$ cm, puis tracer l'un des demi-cercles de diamètre [AB].

La droite perpendiculaire en C à la droite (AB) coupe ce demi-cercle en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle (A, B, D) ?

Justifier la réponse. 

Calculer CD et DB.
\item La droite passant par O et perpendiculaire à la droite (AD) rencontre cette droite (AD) en H.

On appelle E le point d'intersection des droites (OH) et (DC).

Prouver que les droites (OD) et (AE) sont perpendiculaires.

Soit F leur point commun.
\item Calculer $\sin \widehat{\text{BAD}}$. 

Montrer que $\widehat{\text{HDO}} = \widehat{\text{BAD}}$.

En déduire AF.
\end{enumerate}
\end{document}